数学大学
极限的概念
微积分 · 第一章 极限
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极限的概念
微积分 · 第一章 极限
极限的概念(1)
极限研究「无限逼近」：当 x 无限接近某点时，函数值无限接近的确定常数。
逼近思想
考察 x→x₀ 的变化趋势，不看该点取值
趋势确定
函数值无限接近一个确定的常数 A
极限的概念(2)
极限的精确定义用距离语言：任意接近都能做到，极限才存在。
ε 语言
|f(x)−A| 可小于任意给定的正数 ε
δ 刻画接近
x 与 x₀ 充分接近（|x−x₀|<δ）即可
极限的概念(3)
左右极限分开看：从左侧逼近与从右侧逼近可能走向不同。
左极限
x 从小于 x₀ 一侧趋近时的极限
右极限
x 从大于 x₀ 一侧趋近时的极限
充要条件
左右极限存在且相等，极限才存在
极限的概念(4)
极限的四则运算法则：存在极限的函数可以像数一样加减乘除。
和差积商
各极限存在时，运算可逐项进行
商的例外
除法要求分母极限不为零
极限的概念(5)
极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。
夹逼准则
被夹在两个同极限函数之间，极限相同
单调有界
单调有界数列必有极限
极限存在自测
点击作答
函数在某点的左右极限都存在但不相等，该点的极限如何？
本节要点
- ✓极限看趋势，与该点取值无关
- ✓左右极限相等是存在的充要条件
- ✓四则法则要求各极限存在
- ✓夹逼与单调有界证存在性
延伸主题：用 ε-δ 证一个简单极限练习左右极限分段函数
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1极限定义为什么强调「与该点的函数值无关」？
参考答案极限刻画的是 x 趋近 x₀ 时的趋势，x 永远不取 x₀。因此函数在该点甚至可以没有定义——这正是它比连续性好用的地方，比如处理分段点与可去间断。
2夹逼准则的适用场景是什么？
参考答案目标函数难直接求极限，但能找到上下两个函数把它夹住，且上下函数极限相同。典型如无穷小乘有界变量、含振荡项的极限。
3四则运算法则里的「各极限必须存在」为什么不可省略？
参考答案法则的前提是参与运算的函数极限都存在（商还要求分母极限非零）；若有一个极限不存在，逐项拆分就不合法。经典错误是把「和的极限」拆成不存在的极限去算。