数学大学
数列极限存在的充分条件
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
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数学大学
数列极限存在的充分条件
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
四则运算法则
极限四则法则：存在极限的数列可以像数一样运算。
拆分前提
参与运算的极限都必须存在
商的限制
分母极限不得为零
夹挤准则
夹逼准则：上下同极限的夹层里，中间数列被压出同一极限。
适用
含振荡项或难展开的数列
经典
(sin x)/x 与 n 次根式极限
单调有界定理
单调有界数列必有极限：实数完备性的直接体现。
条件
单调递增有上界（或递减有下界）
用途
递推数列收敛性的首选判据
重要极限
两个重要极限：sin x/x → 1 与 (1+1/n)ⁿ → e。
第一个
sin x/x → 1（x→0），夹逼证得
第二个
(1+1/n)ⁿ 单调递增趋于 e
无穷大量
无穷大量与极限的关系：倒数视角下的同一现象。
倒数关系
非零极限的倒数为无穷大，反之亦然
记号
aₙ→∞ 表示任意远处恒超任意界
本节要点
- ✓四则法则前提：各极限存在
- ✓夹逼与单调有界证存在性
- ✓两个重要极限必背
延伸主题：用单调有界证一个递推收敛用重要极限求两个极限
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1证明递推数列收敛的「两步曲」是什么？
参考答案先证单调（常用归纳法比较相邻项），再证有界（放缩出上界或下界），套单调有界定理得收敛；极限值再对递推两边取极限解方程求出。
2夹逼准则求 n 次根式极限的技巧是什么？
参考答案把各因子中最大者提出来：最大因子的 n 次根是它本身，其余因子的 n 次根趋于 1，于是极限被压到最大因子与最大因子的 k 次幂之间，夹出答案。
3重要极限 (1+1/n)ⁿ→e 为什么重要到「必背」？
参考答案它是数 e 的定义来源，连续复利、泊松极限、指数分布的推导都以它为起点；与 (1+x)^{1/x} 的连续版本配合，几乎所有含「1 加无穷小」的幂指极限都靠它化简。