数学大学
含参变量积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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含参变量积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
含参定积分的定义
被积函数里多了一个参数：积分结果不再是个数，而是参数的函数。
定义
I(y)=∫ₐᵇ f(x,y) dx，y 为参数
视角
积分是「运算」，参数是「自变量」
含参积分的连续性
f 在闭矩形上连续时，I(y) 对参数连续：极限可以穿过积分号。
连续定理
f 连续 ⇒ I(y) 连续
意义
lim∫ = ∫lim，顺序可交换
含参积分的导数
求导穿过积分号：I′(y)=∫∂f/∂y dx，积分与求导交换次序。
莱布尼茨法则
f 与 ∂f/∂y 连续时公式成立
用途
借助求导算出难算的积分
含参积分的例题
例题：先积不动就先求导——用含参求导把难题化易。
套路
识别 f/y 为易积形式，反向积分还原
经典
∫(e^{−xy}−e^{−x})/x dx 型问题
广义含参积分的一致收敛性
无穷限或瑕点的含参积分：一致收敛保证极限与积分可交换。
一致收敛
余项对参数一致地趋于零
地位
连续性、求导、求极限的前提
广义含参积分的连续性和积
一致收敛下的三条性质：连续、逐参积分、逐参求导全部成立。
性质链
一致收敛 ⇒ 连续 ⇒ 可逐参求导
应用
Γ 函数与 B 函数的分析性质基础
本节要点
- ✓含参积分：结果是参数的函数
- ✓连续与求导穿过积分号需连续/一致收敛
- ✓先求导后积分是算难积分的利器
延伸主题：用莱布尼茨法则算一个积分验证一个含参积分的一致收敛
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1求导穿过积分号的条件被破坏会发生什么？
参考答案可能得到错误结果：广义积分不一致收敛时，逐参求导的积分发散或与真值不符。经典的 ∫(2y·x/(x²+y²)²) 型反例提醒我们：先验证一致收敛，再交换运算。
2「先求导后积分」技巧的适用信号是什么？
参考答案被积函数可写成某简单函数对参数的导数，或引入参数后积分变得初等。典型如 ∫sin(x)/x dx：引入 y 的参数积分，求导后化为易算的 ∫cos(xy) dx。
3一致收敛的判定有什么实用方法？
参考答案最常用的优势函数法（M 判别法）：找一个只依赖参数域的可积优势函数 M(x)，使 |f(x,y)|≤M(x) 对一切参数成立，则广义含参积分一致收敛。