章节10 一个随机变量上的条件；独立性；贝叶斯准则 Lec. 10: Cond
数学大学
章节10 一个随机变量上的
概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
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章节10 一个随机变量上的
概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
Conditional PDFs
条件密度：给定 X=x 后 Y 的密度按切片归一化 f_{Y|X}=f(x,y)/f_X(x)。
切片归一
联合密度沿 x 固定处切一刀再归一
用途
信息 X 已知后 Y 的精确刻画
Comments on conditional
条件密度使用要点：给定值是常数、归一化必不可少、结果仍是合法密度。
给定值固定
条件中的 x 视为常数参与运算
归一检查
积分应为 1，可作自查
Independence
连续独立性：联合密度等于边际密度乘积 ⇔ 独立。
乘积判据
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
等价形式
条件密度处处等于边际密度
Stick-breaking example
折棍例题：随机折断的棍按比例分段，条件密度逐段均匀的典型应用。
建模
断点在区间上均匀取值
条件化求分布
给定较长段比例后推另一段的密度
Independent normals
独立正态变量之和仍为正态：参数相加，中心极限定理的特例形态。
和的分布
N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)
正则性
正态族对线性组合封闭
Bayes rule variations
贝叶斯法则的连续变体：先验是密度、证据是离散或混合，形式灵活组合。
先验连续
参数为连续变量时用密度版贝叶斯
后验计算
分母为全概率积分，归一化后验密度
Mixed Bayes rule
混合贝叶斯：离散假设 × 连续证据，如「由观测值反推硬币偏差」。
结构
先验离散、似然为条件密度
后验
离散后验按各似然值加权归一
Detection of a binary si
二元信号检测：噪声中的信号判 0 或 1，贝叶斯给出最优判决。
模型
信号取 0/1，观测为信号加高斯噪声
最优判决
比较两后验概率，取大者
Inference of the bias of
推断硬币偏差：观测正面次数反推偏差参数的后验分布。
先验
偏差参数在 [0,1] 上取先验密度
后验更新
数据越多，后验越集中于真值附近
本节要点
- ✓条件密度 = 联合切片归一
- ✓独立 ⇔ 联合等于边际乘积
- ✓混合贝叶斯连接离散假设与连续证据
延伸主题：完成折棍例题做一次硬币偏差推断
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1条件密度 f_{Y|X}(y|x) 与联合密度 f(x,y) 的关系为什么是「除以边际」？
参考答案在 X≈x 的窄条内，Y 的未归一分布形状由联合密度切片给出；要让它成为合法密度，须除以切片面积即边际 f_X(x)。与离散条件概率的除法完全同构。
2「随机入射」与折棍例题有什么共同点？
参考答案两者都体现长度加权效应：断点或观察点均匀取自连续区间时，较长的段被选中的概率更大。连续均匀建模下这类「比例偏差」会精确量化，不再只是直觉。
3硬币偏差推断的先验选择会影响后验多少？
参考答案数据少时先验影响显著，数据多时似然主导、后验对各合理先验趋于一致（数据淹没先验）。实践中先验应反映真实领域知识，而不是当作纯技术参数。