§4.5 间接平差估值的统计性质

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平差原理精度评定统计性质最小二乘

间接平差估值的统计性质

搞懂无偏性、最小方差与精度评定的完整推导链

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平差原理精度评定统计性质最小二乘

间接平差估值的统计性质

搞懂无偏性、最小方差与精度评定的完整推导链

1第 1 页 · 间接平差估值的统计性质

间接平差回顾

上一页我们谈了估值的统计性质，但要真正搞懂它为什么「好」，得先回到出发点：间接平差到底在什么模型下估。这一页把函数模型与随机模型的核心要素重新摆上桌。

函数模型

误差方程 V = BX̂ − L，把观测值与待估参数用线性关系联起来

随机模型

观测值权阵 P（或协方差阵 D），刻画各观测的精度差异

参数选取

从 t 个必要观测中选 u 个独立量作参数，要求 u ≤ t

起算数据

参数初值 X⁰ 已知且充分接近真值，是线性化的前提

用直尺逐段量弯曲铁丝的总长对应 →间接平差的两类模型

段与段如何拼接（函数模型）+ 每段量得有多准（随机模型）= 完整估计

V = B\hat{X} - L,\quad D_{LL} = \sigma_0^2 P^{-1}

2第 2 页 · 间接平差回顾

为什么研究统计性质

上一节我们用最小二乘得到了唯一的参数估值——但这个数到底有多准？它离真值可能差多少？这就进入了统计性质的领域。

观测含随机误差

测量值是真值加噪声的一次抽样，不是真值本身

估值也是随机变量

最小二乘解随观测变化，每次平差结果都不严格相同

需量化精度

用方差-协方差阵描述估值的离散程度

需验证无偏性

确认估值数学期望等于真值，方法才可靠

打靶时弹孔的散布对应 →最小二乘估值的散布

弹孔围绕靶心离散，估值围绕真值离散——都要用统计量刻画精度

3第 3 页 · 为什么研究统计性质

无偏性的定义

上一页我们确认要研究统计性质，第一个要回答的问题是：这套方法「平均来说」会不会瞄偏？这就是无偏性。

无偏性的定义

若估计量θ̂满足 E(θ̂) = θ，则称θ̂为θ的无偏估计量。

期望=大量平均

E(·) 是同一套方法算无数次后的平均值，不是某一次的结果。

无偏是程序的属性

无偏性属于「估计算法」本身，不是某次具体估值；单次θ̂不要求等于θ。

无偏≠每次都准

无偏只消除系统偏离，不保证方差小；无偏但方差大，单次仍可能严重跑偏。

射箭落点对应 →无偏估计

箭散布但平均命中靶心=E(θ̂)=θ；个别箭偏离靶心=单次估值≠真值

E(\hat{\theta}) = \theta

4第 4 页 · 无偏性的定义

无偏性证明思路

本页走一遍无偏性证明，把"从观测模型到 E(x̂)=x"的推理链拆成五步。

建立观测模型

观测值 = 真值 + 误差 Δ，写出 L = BX + Δ + d

拆分 l 向量

得 l = Bx + Δ，把参数与误差两部分拆开

对 l 取期望

由 E(Δ)=0（唯一假设）得 E(l) = Bx

代入 x̂ 解式

用期望线性，E(x̂) = (BᵀPB)⁻¹BᵀP·Bx

矩阵恒等闭合

(BᵀPB)⁻¹BᵀPB = I（需 B 列满秩），得 E(x̂) = x

5第 5 页 · 无偏性证明思路

无偏性的实际意义

上一页我们证明了间接平差估值是无偏的。但「数学期望等于真值」听上去挺抽象——它到底能帮我们做什么实事？

残差期望为零

由 E(Â)=A 可推出，残差 V 的数学期望为零

|ΣV| 判据

观测无系统误差时，|ΣV| 的期望在理论上应等于零

系统误差信号

实际计算中若 |ΣV| 显著偏离零，就是系统误差的信号

观测越多越可靠

多余观测越多，这一判断依据越可靠

体温计校准对应 →系统误差检测

用已知温度检验体温计——读数是否系统偏高或偏低，对应 V 是否偏离零

E(\hat{A}) = A \Rightarrow E(V) = 0 \Rightarrow |\Sigma V| \approx 0

6第 6 页 · 无偏性的实际意义

最小方差估计的概念

你已经知道间接平差估值没有系统偏差。可是两名射手都平均命中靶心，仍可能一人成绩更集中；估计量之间也要比较这种稳定性。

无偏门槛

先要求数学期望等于真值，避免用系统偏差换取较小方差

最小方差性的证明框架

把「带约束的最小方差」转化为「无约束求导」，这就是拉格朗日法的核心套路。

图解渲染中…

C1：L = 目标函数 + Kᵀ(约束偏离量)，K 是待定乘子F1：解出的 ã 含 K，再用约束条件把 K 反解、代回

8第 8 页 · 最小方差性的证明框架

有效性对比

上一页给出『方差最小』的证明，但要和谁比？本页把有效性对比的范围、结论和边界说清楚。

有效性含义

无偏条件下，方差越小精度越高，估计越『有效』

高斯-马尔可夫定理

LS估计是BLUE，线性无偏估计中方差最小

与条件平差的对比

解算结果等价，间接平差更灵活便于附加约束

方差阵公式

D(X̂)=σ₀²(AᵀPA)⁻¹，参数选取不同方差不同

边界提醒

最小仅限『线性无偏』类，非线性无偏估计可能更小

多位老师评同一份卷对应 →多个线性无偏估计估同一参数

期望分相同（无偏），波动有高下，LS是打分最稳的那位

D(\hat{X})=\sigma_0^2(A^\top PA)^{-1}

9第 9 页 · 有效性对比

协方差传播律基础

上一页我们证了 x̂ 是最小方差线性无偏估计——但这个'最小方差'到底是多大？我们能算出来吗？这就要靠协方差传播律：把观测值的精度'传'到参数估值头上。

传播律要回答的问题

已知观测值协方差 D_L，求参数估值 x̂ 的协方差 D_x̂

线性函数的传播公式

若 Y = KX，则 D_Y = K·D_L·K^T

代回间接平差

取 K=(A^TPA)^{-1}A^TP，化简得 D_x̂ = σ̂₀²·(A^TPA)^{-1}

传播律的核心意义

每个 x̂ᵢ 的方差就在对角线上可读，参数精度由此可量化

工厂流水线误差传递对应 →协方差传播律

原材料波动沿各工序被放大或缩小，最终方差=各工序方差×增益²

D_{\hat{x}} = \hat{\sigma}_0^{2}\,(A^{T}PA)^{-1}

10第 10 页 · 协方差传播律基础

间接平差的协方差矩阵推导

协方差传播律用到间接平差里，经四步推导就能得出Q_X̂。

函数模型

写出 L=BX̂+Δ，定义设计矩阵 B 与参数向量

代入最小二乘

X̂=(BᵀPB)⁻¹BᵀPL，是 L 的线性变换

应用传播律

设 A=(BᵀPB)⁻¹BᵀP，得 D(X̂)=A·D·Aᵀ

代入并化简

把 D=σ²P⁻¹ 代入，P⁻¹ 与 P 相消，得 Q_X̂=(BᵀPB)⁻¹

11第 11 页 · 间接平差的协方差矩阵推导

误差传播的计算流程

沿数据流方向读图：从观测值出发，经设计矩阵与权阵，逐步推导平差值的协方差矩阵。

图解渲染中…

a3：P = D_L的逆，反映观测精度a5：N = A^T P A，最小二乘导出a6：Q = N的逆，协因数阵a7：D = σ₀²Q，最终协方差阵

12第 12 页 · 误差传播的计算流程

单位权中误差的定义

上页我们用协方差传播得到了参数估计的协方差矩阵Qₓ̂,但Q只是相对精度——它能说'参数1比参数2更准',却没说'到底准到什么程度'。要把相对精度变成绝对精度,需要一个统一的'精度尺子'。

标准化精度尺度

σ₀是权等于1的观测值对应的中误差,作为所有精度的统一参照

从残差反算

σ̂₀²=VᵀPV/(n−t),用改正数、权阵和剩余自由度反算

无偏且服从卡方

E(σ̂₀²)=σ₀²,(n−t)σ̂₀²/σ₀²~χ²(n−t)

方差的乘数因子

D(x̂)=σ₀²Qₓ̂,所有协方差阵乘以σ₀²才有实际量纲

基准尺的刻度误差对应 →单位权中误差 σ₀

不同精度的尺子要用同一基准尺比对;不同权的观测也需要σ₀作精度基准

\sigma_0^2 = \frac{V^{\top} P V}{n-t}

13第 13 页 · 单位权中误差的定义

单位权中误差的计算

单位权中误差等于残差平方和除以自由度，整个计算分四步完成。

求残差 V

把参数估值 x̂ 代回误差方程，算出每个观测的残差 V = Bx̂ − L

算加权残差平方和

用权矩阵 P 加权求和，得到 Vᵀ P V，体现不同精度观测的贡献

定自由度 n − t

n 是观测总数，t 是必要观测数（独立参数个数），差值即多余观测数

求 σ̂₀

σ̂₀² = Vᵀ P V / (n − t)，开方后即得单位权中误差 σ̂₀

14第 14 页 · 单位权中误差的计算

自由度与多余观测数

上页推导出 V^T P V 是 σ̂₀² 的无偏估计量，但分母那个关键数字还没讲——它就是多余观测数 r = n − u。今天看它代表什么、能做什么。

r = n − u

多余观测数 = 总观测数 n − 独立未知数个数 u

物理含义

u 个观测足以唯一确定 u 个参数；多出的 n−u 个产生残差、可自由调整

精度的分母

单位权方差无偏估计 σ̂₀² = V^T P V / r，r 决定精度估计的可靠程度

检验的前提

r > 0 是平差有意义的根本前提；r = 0 时没有冗余、无从检验

三角形只测 3 条边对应 →多余观测数 r = n − u

3 条边足以定一个三角形 (u=3)；多测 2 条时多出的 2 条可校验闭合差、评定精度——这就是多余观测的作用

r = n - u, \quad \hat{\sigma}_0^2 = \frac{V^T P V}{r}

15第 15 页 · 自由度与多余观测数

点位中误差

单位权中误差衡量的是整网的整体精度，但工程上更关心每个点究竟有多准——这就需要点位中误差。

平面点位中误差

m_p=√(m_x²+m_y²)，把x、y两个方向误差合成

高程点位中误差

高程只有一维，m_h直接表示点位精度

来源协方差阵

Q_XX对角元乘以m₀²得到各分量方差

打靶弹孔散布对应 →点位中误差

弹孔离靶心越远、散布越大，对应点位精度越差

m_p=\pm\sqrt{m_x^2+m_y^2}=m_0\sqrt{Q_{xx}+Q_{yy}}

16第 16 页 · 点位中误差

相对精度与绝对精度

上页讲了 σp 单位是米、表示点的定位精确度；工程报告里更常见的却是「点位精度 1/50000」这种比例写法——为什么用比值而不是绝对值？

绝对精度

σ 值本身，单位与观测量相同，如点位中误差以米计

相对精度

σ 与量本身之比，无量纲，常写成 1/N 形式（如 1/50000）

基准依赖差异

换参考基准，σx 变；但 σx/x 不变

相对精度与基准无关

反映网络几何强度，由观测构型决定

隧道两端高程之差对应 →相对精度更受关注

贯通误差看的是两端高差，不管各自海拔多少——类比相对精度不随基准变

\sigma_{rel}=\frac{\sigma_{abs}}{|x|}=\frac{1}{|x|/\sigma_{abs}}

17第 17 页 · 相对精度与绝对精度

精度评定方法对比

两套精度描述方法——协方差矩阵严谨但抽象，误差椭圆直观但简化。它们描述同一对象的不同语言，常被混淆。

协方差阵法

精度表达形式：完整 n×n 协方差矩阵
信息完整度：含所有方差与协方差
几何直观性：较弱，需解读特征根
适用场景：严密平差与统计推断

误差椭圆法

精度表达形式：长半轴 a、短半轴 b、方位 θ
信息完整度：仅取点位两正交主分量
几何直观性：直观，可直接画图
适用场景：点位误差图示与工程评价

严密分析（统计检验、定量计算）选协方差阵法；点位图示、工程评价选误差椭圆。数学上等价，椭圆是矩阵的几何化简。

18第 18 页 · 精度评定方法对比

三大性质的关系图谱

三大性质层层递进：无偏是前提，有效是追求，协方差传播是工具。

图解渲染中…

a1：E(θ̂)=θ，估计量均值等于真值b2：无偏中方差最小，即 BLUE 估计c3：D(θ̂)=(AᵀPA)⁻¹，由观测精度求参数精度

19第 19 页 · 三大性质的关系图谱

核心要点总结

✓无偏性保证参数估值在重复平差中不偏
✓最小方差性使它成为线性无偏估计中的最优者
✓协方差矩阵同时描述精度与参数间的相关性
✓单位权中误差需结合自由度评定整体精度
✓误差传播把观测精度转化为点位精度指标

延伸主题：加权平差与约束条件参数显著性检验完整算例：从观测到精度

20第 20 页 · 核心要点总结

深入思考题

先合上页面独立作答，再看参考答案；重点检查每个结论成立的条件。

1无偏性、最小方差性与单位权中误差的估计，分别解决什么问题？它们怎样联系，又为何不能互相替代？

参考答案无偏性确认“平均不偏”，最小方差性比较无偏估计的波动，σ̂₀²则用自由度修正残差估计尺度。三者评价对象不同，后两者尤其依赖正确的随机模型。

2控制网中若只提高某一方向或某一类观测的权重，哪些参数精度可能提升？为什么另一些方向未必改善？

参考答案应重算 Q̂=(AᵀPA)⁻¹。提高某类观测权重会压低相应方向的不确定度，但改善程度取决于设计矩阵和参数相关性；近似位于零空间的方向可能几乎不变。

3如果观测协方差矩阵设错了，无偏性和最小方差性还必然成立吗？怎样排查这种模型错设？

参考答案只要 E(e)=0，无偏性仍成立；但线性无偏估计的最小方差性要求所设协方差与真实协方差至多相差统一比例。残差异常或验后方差明显不符时，应重估随机模型。

21第 21 页 · 深入思考题