数学大学
信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
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信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
窗函数——窗函数特征
窗函数是一段加权截断函数：评价它看主瓣宽度与旁瓣高低一对矛盾。
主瓣
频谱中央的主峰，越窄频率分辨越好
旁瓣
两侧的小峰，越低泄漏越小
矛盾
主瓣窄与旁瓣低难以兼得，按需折中
窗函数——矩形窗函数
矩形窗就是直接截断：窗内全保留，窗外全为零。
最窄主瓣
相同窗长下频率分辨最高
最高旁瓣
旁瓣泄漏最大，适合整周期采样
窗函数——窗函数的形成
窗函数由矩形窗加权演变而来：两端渐变压低旁瓣。
加权思想
让信号两端平滑过渡到零
代价
旁瓣降低的同时主瓣展宽
余弦窗函数
余弦窗用余弦函数加权成形：汉宁窗等旁瓣抑制优异。
余弦加权
余弦形状使两端平滑归零
典型代表
汉宁窗、海明窗同属余弦家族
信号加窗
加窗 = 截断 + 加权：把无限长信号裁成有限段再分析。
操作
信号乘以窗函数得到加窗信号
目的
抑制截断引起的频谱泄漏
高斯窗函数
高斯窗以高斯函数加权：频谱无旁瓣，主瓣换平滑。
无旁瓣
高斯形状的傅里叶变换仍是高斯
取舍
主瓣较宽，换得频谱格外干净
窗函数的离散化
连续窗按采样间隔取值即离散窗：供数字计算使用。
离散取样
按采样点逐点取窗值
长度
窗长 N 决定频率分辨率上限
加窗周期信号的周期构造——
加窗后的信号要按周期构造延拓：周期构造函数给出拼接规则。
延拓需求
频分析隐含周期延拓的假设
构造函数
规定一段加窗信号如何周期重复
加窗周期信号的周期构造——
大周期信号按构造函数取值：窗内取原值，按周期规律衔接。
取值规则
在观察窗内按原信号取值
衔接周期
窗与窗之间按构造周期衔接
加窗周期信号的周期构造——
以窗中心为基准取中心周期：让延拓对称、分析更稳。
中心基准
以窗的中心周期作为延拓单元
对称好处
相位分析更直观，边界更平滑
加窗周期信号的周期构造——
整周期截断不产生形变：窗长恰为信号整数个周期时延拓无失真。
整周期条件
窗长等于信号周期的整数倍
不变形
周期衔接处平滑，无泄漏形变
加窗自测
点击作答
什么情况下加窗截断不会引入频谱形变？
周期窗函数
周期窗函数按周期定义而非对称定义：DFT 计算中常用的口径。
周期口径
窗本身视为周期函数的一个周期
与对称之别
末端取值差异，影响频谱的细微结构
加窗周期信号的加窗构成
加窗构成 = 原周期信号 × 窗 × 周期构造：三者合起来进入频分析。
三要素
原信号、窗函数、周期构造共同决定结果
流程
截断加权、按周期构造、再做频分析
本节要点
- ✓窗函数权衡：主瓣窄与旁瓣低
- ✓矩形窗分辨最好但泄漏最大
- ✓余弦窗、高斯窗压制旁瓣
- ✓整周期截断不产生形变
延伸主题：对比三种窗的频谱验证整周期采样的效果
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么要给信号加窗？不加行不行？
参考答案频分析只能处理有限长数据，截断本身必然发生；直接硬截断（矩形窗）会在频域造成强烈泄漏。加平滑窗是把泄漏压到可接受程度——问题不是加不加，而是怎么加。
2主瓣宽度与旁瓣高度为什么是矛盾？
参考答案两者由窗的时域形状共同决定：两端压得越平滑，旁瓣越低，但信号「有效长度」越短，主瓣随之展宽。频率分辨与动态范围需要按任务取舍。
3整周期截断为什么能避免形变？
参考答案窗内信号恰含整数个完整周期，首尾相接处平滑连续，周期延拓与原周期信号完全一致——没有人为的突变，自然没有附加的频谱成分。