观察物体(三)

官方数学老师·12 页·入门(第一次接触这个概念)·0 次浏览·3 天前
观察物体三视图物体形状空间想象

观察物体(三)

搞懂同一物体,从前、侧、上看到形状为什么不一样

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观察物体三视图物体形状空间想象

观察物体(三)

搞懂同一物体,从前、侧、上看到形状为什么不一样

1第 1 页 · 观察物体(三)

从不同方向观察几何体

你桌上有一个文具盒,把它举起来:正面看、侧面看、再翻过来从上面看——同一个盒子,每次看到的形状都不一样。今天我们就来学这件事。

三个观察方向
正面、侧面、上面,是观察立体图形最常用的三个方向
形状会变化
同一个几何体,从不同方向看到的形状可能完全不同
三视图
把三个方向看到的形状画下来,就得到正视图、侧视图、俯视图
看一只小狗对应 →从不同方向观察几何体

小狗没变,正面看到脸,侧面看到全身,上面看到头顶和耳朵。物体本身没变,只是观察的方向不同

2第 2 页 · 从不同方向观察几何体

根据视图搭建几何体

上节课我们从三个方向观察物体,画下了正视图、俯视图、左视图。那反过来呢?只给你这三张图,你能还原原本的几何体吗?这就是今天要练的本领。

先认三视图
正视图管长和高,俯视图管长和宽,左视图管高和宽——三张图各管一面
对齐口诀
长对正、高平齐、宽相等——背下这三句,三视图的尺寸就锁死了
脑里拼立体
把三个方向的轮廓在脑中叠起来,想象每个位置该放几个小方块
动手摆方块
用积木或橡皮泥搭出来,对照视图检查——搭错了一眼就能看出来
看图纸盖房子对应 →视图搭几何体

三视图就是几何体的图纸,告诉你每个方向长什么样

3第 3 页 · 根据视图搭建几何体

倍数

小亮有3块积木搭成一行。如果再搭一行一模一样的,他就有了2个3,也就是6块。这个「2个3」,就是倍数。

什么是倍数
一个数乘以非零整数,得到的积就是它的倍数
怎么找倍数
用这个数依次乘1、2、3、4……
倍数有无限个
因为能乘的整数是数不完的
最小的倍数
是它本身乘1,也就是它自己
排队的小鸡对应 →倍数

一行小鸡是1倍,再排一行同样的就是2倍,再来一行就是3倍

3×n, n=1,2,3,3,6,9,12,3 \times n,\ n=1,2,3,\ldots \Rightarrow 3,6,9,12,\ldots
4第 4 页 · 倍数

偶数

上一页我们认识了倍数。现在来看倍数家族里最常见的一位——偶数。先想一个生活问题:你买袜子是不是总成双成对?这种「配对刚刚好」的感觉,就是偶数最直观的来源。

什么是偶数
能被2整除的整数:2、4、6、8、10、12…
一眼判断法
末尾是0、2、4、6、8的整数,都是偶数
偶数就是2的倍数
所有偶数都能写成 2×n,n是整数
身边的偶数
袜子成双、座位两人一组、双号门牌…
买袜子一双一双地配对应 →偶数

一双=两根,配完没有单只剩余;偶数也能被2「分干净」

2n(n 为整数)2n \quad (n \text{ 为整数})
5第 5 页 · 偶数

奇数

上一页我们认识了偶数——它们能被2整除,可以两个两个配对成功。那反过来,不能被2整除、永远多出一个配不上的数,叫什么呢?这就是奇数。

奇数的定义
不能被2整除的整数,如1、3、5、7、9
快速识别
看个位:结尾是1、3、5、7、9的就是奇数
最小的奇数是1
1是最小的奇数,没有比1更小的奇数
奇数与偶数
每个整数不是奇数就是偶数,两者合起来覆盖所有整数
两人一组排队对应 →奇数无法两两配对

偶数刚好两人一组;奇数总会多出一个落单的

n=2k+1(k 为整数)n = 2k + 1 \quad (k \text{ 为整数})
6第 6 页 · 奇数

3的倍数特征

我们学过偶数看个位就能秒判——个位是0、2、4、6、8就是偶数。那3的倍数能这样吗?15、18、21的个位都不一样,看个位这条路走不通。今天学一招更厉害的判断法。

核心判断法
把一个数的各位数字相加,和是3的倍数,这个数就是3的倍数
正向举例
123 → 1+2+3=6,6是3的倍数,所以123也是3的倍数
反向也行
247 → 2+4+7=13,13不是3的倍数,所以247也不是
拆积木塔对应 →把各位数字加起来

三位数像三层积木塔,拆散数总块数,比直接量整塔更易判断

7第 7 页 · 3的倍数特征

因数

你听过「12 是 3 的 4 倍」这种说法吧?换个角度问:3 在 12 的故事里,是什么身份?今天就来认识这位新朋友——因数。

什么叫做因数
两个整数相乘得到积,这两个乘数都是积的因数。如 3×4=12,3 和 4 都是 12 的因数。
与倍数互为依存
因数和倍数是一对:a 是 b 的因数,反过来 b 就是 a 的倍数。它们说的是同一件事,只是看的角度不同。
找因数的方法
从 1 开始逐个除,能整除的数就是它的因数。比如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12。
因数的特点
一个数的因数个数有限。最小的因数总是 1,最大的因数总是它本身。
用 12 个小方块拼长方形对应 →找 12 的因数

能拼出 1×12、2×6、3×4 等整齐长方形,每组里的两个数都是 12 的因数。

a×b=cab 是 c 的因数a \times b = c \Rightarrow a、b \text{ 是 } c \text{ 的因数}
8第 8 页 · 因数

质数

我们刚学了因数——一个数能被哪些数整除。但有些数很'小气',它的因数少得可怜,只有1和它自己两个。

质数的定义
大于1的自然数,只有1和它本身两个因数
最小的质数是2
2是最小的质数,也是唯一的偶质数
1不是质数
1只有一个因数,不符合'两个因数'的条件
常见的质数
2、3、5、7、11、13、17、19、23……
原始积木块对应 →质数

原始积木无法再拆成更小的;质数无法再拆成更小的因数相乘

9第 9 页 · 质数

合数

上一页我们认识了质数——像 2、3、5、7,因数只有 1 和自己两个。那因数比这还多的数叫什么?这就是今天要学的合数。

合数的定义
除了 1 和它自己,还有别的因数;因数个数 ≥ 3
最小的合数是 4
4 的因数有 1、2、4,正好三个
1 既不是质数也不是合数
1 只有一个因数,两边都不算
判断方法
数出因数个数:≥3 是合数,=2 是质数
搭好的积木组合对应 →合数

积木能拆成几块小积木;合数也能拆成几个因数相乘

n=a×b,其中1<ab<nn = a \times b,其中 1 < a \leq b < n
10第 10 页 · 合数

本节要点

  • 从不同方向看同一物体,形状可能完全不同
  • 给出三视图,就能反推出几何体的样子
  • 判断倍数看特征:个位判2、5,各位之和判3
  • 1既不是质数也不是合数,质数只有两个因数
  • 因数成对出现,找全要成对搜
延伸主题:公因数与最大公因数长方体与正方体的特征最小公倍数
11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先自己想想,再翻参考答案看思路对不对。

1为什么只凭正面、侧面、上面三个方向的视图,就能还原出原来的几何体?

参考答案三个方向的视图各自记录了不同维度的轮廓:正面给长和高,侧面给宽和高,上面给长和宽。三视图拼起来就锁定了长、宽、高三个量。

2一个数如果同时是2的倍数又是3的倍数,它还会是5的倍数吗?你能找到规律吗?

参考答案不一定。比如6是2和3的倍数但不是5的倍数;30则同时是2、3、5的倍数。规律:同时是2和3的倍数一定是6的倍数,是否还是5的倍数要看末位。

31和0是质数还是合数?为什么分类时要把它们单独拿出来?

参考答案都不是。1只有它本身一个因数,不能写成两个不同因数的乘积;0的任何倍数都是0,它有无数个因数。它们都不符合质数(恰好2个因数)和合数(3个及以上因数)的定义。

12第 12 页 · 课后思考