集合的基本运算
穿透交并补差的定义边界，掌握容斥原理与基数运算
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集合的基本运算
穿透交并补差的定义边界，掌握容斥原理与基数运算
什么是交集
前一页开始比较集合时，我们常会问：哪些元素同时属于两个集合？先找出重复成员，再观察它们共同组成的那一部分。
同一成员编号同时出现在两份名单上，就落在交集中；没有重合编号时，交集为空。
交集的韦恩图表示
三个圆分别代表集合A、集合B和它们的交集A∩B。
交集运算的步骤
求两集合的交集，按四步走就能稳妥完成。
全集的定义
上节课求「物理及格且数学及格」的学生时，我们默认背景里有「全班学生」——这个「默认的全体」，今天正式有个名字，叫**全集**。
球员只在场地内算数；换场地后同一元素是不是「场内」就变了
补集的定义
上页划定了全集U作为讨论边界。那么在U里挑出集合A后，剩下那部分叫什么？这就是补集——
合唱队=A，全班=U；U里扣掉A就是补集
补集的韦恩图表示
矩形表全集 U，圆表集合 A，圆外矩形内的阴影即补集 ∁ᵤA。
补集运算的步骤
求补集的关键，是先确定全集U，再从U中剔除非A的元素。
相对补集
上页讲补集需要先圈定全集U，但有时U并不明确。两个集合之间能不能直接做减法？这就要用到相对补集。
B是锅中全部食材，A是捞出的部分，结果只看B和A
并集的定义
相对补集挑出「A 有但 B 没有的」；并集反过来——A 里的、B 里的「全都要」，不遗漏不挑拣。这里有个关键陷阱：「或」字和你想的可能不一样。
两本菜单合成一本，重复菜品只留一份
并集的韦恩图表示
上方两个集合 A 和 B，下方是它们的并集——两圆区域全部并到一起，重叠元素只保留一份。
并集运算的步骤
求A∪B就是把所有属于A或属于B的元素收在一起，重复的只留一份。
并集与交集的对比
并集与交集都从两个集合出发，但一个朝“更宽”走，一个朝“更窄”走。混淆点就在“方向”上。
- 逻辑：OR，满足任一即可进入结果集
- 方向：放大集合，结果不小于任一原集
- 包含关系：A⊆A∪B，永远包含原集合
- 极端情况：A∪∅=A，空集是单位元（加零）
- 逻辑：AND，必须同时属于两个集合才留下
- 方向：缩小集合，结果不大于任一原集
- 包含关系：A∩B⊆A，结果必包含于原集合
- 极端情况：A∩∅=∅，空集是零元（乘零）
有限集基数的定义
前面学了交集、并集、补集——能「操作」集合了。操作之后一个自然的问题浮出来：结果集合里到底有多少个元素？比如「既喜欢数学又喜欢物理」的同学有几人？这就需要基数为集合「量尺寸」。
每个学生只数一次，转一圈后报出的总人数就是 |A|
基数加法公式
班级统计戴眼镜或戴帽子的同学：戴眼镜 18 人，戴帽子 12 人。能不能直接把两个数加起来？
戴眼镜或帽子的人数 = 戴眼镜 + 戴帽子 − 同时戴的（去重）
加法公式的韦恩图推导
从两圆韦恩图出发，沿箭头分步推导：先分别计数 → 相加 → 发现重叠被多算 → 减掉重叠 → 得到加法公式。
加法公式的应用步骤
拿到求并集个数的题，按四步走就能稳算出来。
基数运算练习
某班有30人喜欢数学，25人喜欢语文，其中8人两科都喜欢。用基数加法公式，喜欢数学或语文（至少一门）的人数是多少？
集合运算定律总结
中心向外辐射，展示三大定律的公式与对应韦恩图。
运算对比一览
四种基本运算的符号、定义、韦恩图对比
知识要点回顾
- ✓交集与并集是对偶运算，补集是参照系中的取反
- ✓文氏图给出直觉，但集合等式证明需要形式推导
- ✓加法公式是容斥原理在两个集合上的最简形态
- ✓相对补集让「全集」从绝对背景变为可切换参照
- ✓集合运算定律与命题逻辑定律一一对应
课后思考
先花几分钟自己想想，再点开参考答案对照思路。
参考答案会变。补集 = 全集 − 原集合，全集不同剩下的就不同。回顾'补集依赖参考系'这个关键点。
参考答案|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−两两交集之和+三重交集。两两交集元素被重复计数要减，三重交集被多减一次要加回。建议画韦恩图感受。
参考答案因为元素不重复，并集就是把两组元素'合并数一遍'，基数自然相加。如果相交，公共部分会被重复计数，这正对应'减去交集'。集合里的'加法'和算术里的'加法'是相通的。