函数的基本性质

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✦ 函数的基本性质数学函数的基本性质增函数
函数性质单调性奇偶性周期性

函数的基本性质

一张图拆解单调性、奇偶性、周期性的判定条件与内在联系

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函数性质单调性奇偶性周期性

函数的基本性质

一张图拆解单调性、奇偶性、周期性的判定条件与内在联系

1第 1 页 · 函数的基本性质

通过符号语言判断单调性

上一页认识了单调性这一基本性质。遇到具体函数如何判断？最有力的工具是求导——让符号替你说话。

充分判据
区间上 f'(x)>0 ⇒ f 严格递增；f'(x)<0 ⇒ 严格递减
必要不成立
f 递增 ⇏ f'(x)>0；反例 y=x³ 在 x=0 处 f'(0)=0
导数缺失
个别点 f'(x) 不存在时,仍可用定义判定单调性
典型应用
解 f'(x)>0 或 <0 的区间,即得单调区间
下山路对应 →导数判单调

路面朝下一定在下坡,但路上可能有几乎水平的路段——整体仍在下降

f′(x)>0⇒f(x) 严格递增(充分非必要)f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)\ \text{严格递增}\quad(\text{充分非必要})
2第 2 页 · 通过符号语言判断单调性

利用对称性判断奇偶性

上一页我们用 f(x₁)-f(x₂) 的符号判断单调性，那是代数视角。拿到图像、没法列式时，奇偶性还能判断吗？能，看对称性。这一页讲怎么用对称性快速判断。

关于y轴对称
图像沿y轴对折后两边重合，对应f(-x)=f(x)，是偶函数
关于原点对称
图像绕原点旋转180°后与自身重合，对应f(-x)=-f(x)，是奇函数
判定三步走
一看对称轴或对称中心，二验证关键点对应，三与定义法交叉检验
典型用途
快速排除非奇非偶；为复杂函数（如复合函数）提供几何直觉
把一张画沿中线对折对应 →偶函数图像关于y轴对称

对折线就是y轴，左右两边严丝合缝才叫对称

f(−x)=f(x)    ⟺    偶函数（关于 y 轴对称）;f(−x)=−f(x)    ⟺    奇函数（关于原点对称）f(-x)=f(x)\;\iff\;\text{偶函数（关于 y 轴对称）};\quad f(-x)=-f(x)\;\iff\;\text{奇函数（关于原点对称）}
3第 3 页 · 利用对称性判断奇偶性

函数的单调性

想象一座只许往上爬的楼梯——每踏一步都必升一阶，没有平层也不回头。这就是数学中「严格单调递增」函数的形象：x 每增大一点点，f(x) 也必增大一点点。

单调递增
定义域内任取 x₁<x₂，都有 f(x₁)<f(x₂)，图像一路向上
单调递减
定义域内任取 x₁<x₂，都有 f(x₁)>f(x₂)，图像一路向下
严格 vs 非严格
严格用「<」不允许相等；非严格（单调不减/不增）用「≤」允许平台段
等价刻画
f 严格递增 ⟺ 任意 x₁≠x₂ 时，(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂) 恒正
典型应用
比较大小、解不等式、判断零点个数、证明唯一性
只许持平或上涨的股票对应 →单调不减函数

不要求每天必涨，只要求收盘价不低于前一日，对应 f(x₁)≤f(x₂)

f(x)严格单调递增⇔∀x1≠x2, f(x1)−f(x2)x1−x2>0f(x)\text{严格单调递增}\Leftrightarrow \forall x_1\neq x_2,\ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0
4第 4 页 · 函数的单调性

增函数

上一页我们聊了函数的单调性，今天落到其中一个具体情形——增函数。光记住'x 越大、f(x) 越大'远远不够，深入一层就要抠定义里的每一个字：在哪段上、对谁、要不要对所有点都成立。

定义域必须是区间
增函数必须定义在某个区间 I 上，单点或离散集合不讨论单调性
任意两点
对 I 内任意 x1 < x2，不是挑几个特殊点验证就够，要全部成立
严格不等
由 x1 < x2 必须推出 f(x1) < f(x2)，中途不允许出现相等
严格增 vs 不减
f(x1) ≤ f(x2) 叫'不减函数'（单调非减），增函数是不减的真子集
爬山时只上不下对应 →增函数

山路上任选前后两点，后一点必比前一点高，不允许平台或下坡

∀x1,x2∈I,  x1<x2⇒f(x1)<f(x2)\forall x_1, x_2 \in I,\; x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)
5第 5 页 · 增函数

减函数

增函数讲过是'越往右越大'。减函数正好反过来——x 越大，f(x) 反而越小。但要把定义真正讲透，还有几个细节和边界要交代清楚。

定义
区间I上，若x₁<x₂⇒f(x₁)>f(x₂)，则f为I上的减函数
几何特征
图像从左往右一路下降；中途若出现起伏就破坏单调性
符号判别
区间内恒有(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)<0
必须指定区间
不能孤立说'f是减函数'，必须挂在某个区间I上
典型应用
比较函数值大小、估算零点个数、判断不等式是否成立
一天的气温变化对应 →减函数

时间x从早到晚单调增大，气温f(x)单调下降，完美对应

f(x1)−f(x2)x1−x2<0,∀x1<x2∈I\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0,\quad \forall x_1<x_2\in I
6第 6 页 · 减函数

函数的最大值

一天的气温曲线起伏不断，但只有一个时刻是全天最高——函数的最大值也一样：它必须在整个定义域上'打遍天下无敌手'。

形式定义
∃x₀∈D, ∀x∈D, f(x₀)≥f(x), 则 f(x₀) 为最大值
与极大值的区别
极大值只要求'邻域内称王'，最大值要求'全域称王'
存在条件
闭区间上的连续函数必有最大值（最值定理）
全班最高 vs 班里某排最高对应 →最大值 vs 极大值

比遍全班才是最大值，只在小范围里最高只是极大值

∃x0∈D, ∀x∈D: f(x0)≥f(x)\exists x_0 \in D,\ \forall x \in D:\ f(x_0) \geq f(x)
7第 7 页 · 函数的最大值

函数的最小值

上一页我们用「山顶」理解最大值。把图像沿 x 轴翻 180°，山顶就变成山谷——最小值就是图像的「谷底」。

精确定义
若 ∃x₀∈D，使 ∀x∈D 满足 f(x)≥f(x₀)，则 f(x₀) 即为最小值，x₀ 为最小值点
与最大值的关系
f 的最小值 = -(-f) 的最大值；图像沿 x 轴翻转后山顶变山谷
存在性条件
闭区间 [a,b] 上的连续函数必同时存在最大值与最小值（最值定理）
多个最小值点
常数函数 f(x)=c 上每一点都是最小值点，最小值 = c
最小值与下确界
最小值是「实际取到」的下界；下确界 inf 即使取不到也仍是最大下界
考试的「最低分」对应 →最小值与下确界

老师说最低 50 分：若真有人考到 50，50 即最小值；若无人考到，50 只是下确界

∃x0∈D, ∀x∈D, f(x0)≤f(x)\exists x_0 \in D,\ \forall x \in D,\ f(x_0) \le f(x)
8第 8 页 · 函数的最小值

偶函数

判断单调性靠的是 f(x₁)-f(x₂) 与 x₁-x₂ 同号；偶函数则盯另一条对称线索——自变量翻号，函数值不变。

核心等式
f(-x) = f(x) 对定义域中每一个 x 都成立
定义域须对称
x 若在定义域则 -x 必在；只给一半就出局
图像关于 y 轴对称
沿 y 轴对折，图像与自身完全重合
偶性在运算下封闭
两偶函数的和、差、积、商仍是偶函数
把一幅画沿竖直中线对折对应 →偶函数的图像

折痕就是 y 轴，左右两侧图案重合，正是 f(-x)=f(x) 的图像翻译

f(−x)=f(x),∀x∈D, −x∈Df(-x) = f(x), \quad \forall x \in D,\, -x \in D
9第 9 页 · 偶函数

奇函数

上页讲了偶函数——图像关于 y 轴镜像对称。那如果图像不是镜像，而是绕原点转 180° 还能和自己重合呢？这就是奇函数。

代数定义
对定义域内任意 x，恒有 f(-x) = -f(x)
定义域对称
定义域必须关于原点对称，否则谈不上奇偶性
过原点性质
若 0 在定义域内，必有 f(0) = 0，可作快速判据
图像特征
图像关于原点对称（绕原点旋转 180° 与自身重合）
积分性质
在关于原点对称的区间上积分，结果必为零
风车 / 180° 旋转对称图形对应 →奇函数的图像

把整条曲线绕原点旋转半圈，能与原曲线完全重合

f(−x)=−f(x)⇔∫−aaf(x) dx=0f(-x) = -f(x) \quad \Leftrightarrow \quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0
10第 10 页 · 奇函数

本节要点

  • ✓单调性判定回到定义：作差判符号
  • ✓奇偶性看 f(−x) 与 f(x) 的关系
  • ✓闭区间连续函数必有最大与最小
  • ✓零函数是唯一的常奇偶函数
延伸主题：复合函数的单调性与奇偶性函数的最值应用题周期性与对称性的综合
11第 11 页 · 本节要点

课后思考

合上书，先自己想三分钟；再对照参考答案——好问题值得磨一磨。

1判断函数奇偶性时，为什么必须先检查定义域是否关于原点对称？跳过这一步直接套公式会怎样？

参考答案因为 f(-x) 必须落在定义域内，否则连'比较 f(x) 和 f(-x)'这步都做不了。跳过这步直接套公式，等于在空集上做运算，逻辑上不成立。

2一个在闭区间 [a,b] 上单调的函数，一定能取到最大值和最小值吗？如果换成开区间呢？

参考答案闭区间上一定可以——单调函数的值域也是区间，端点处取极值。开区间端点取不到，只能'无限接近'而不能'取到'。这是最值定理强调闭区间的原因。

3一个函数若同时是奇函数和偶函数，它的图像长什么样？这样的函数存在吗？

参考答案存在。思路：把奇函数条件 f(-x)=-f(x) 与偶函数条件 f(-x)=f(x) 联立，立即得 f(x)=-f(x)，即 f(x)=0。所以只有零函数是'双重身份'。

12第 12 页 · 课后思考
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