一元一次不等式组
掌握取公共解的核心思路，看懂数轴上一目了然的求解过程
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一元一次不等式组
掌握取公共解的核心思路，看懂数轴上一目了然的求解过程
什么是不等式的解集
前面我们看到，一个不等式的解往往不止一个，而是一整片。今天给这片范围一个正式的名字。
每位同学是一个「解」，达标的所有人合起来就是解集
什么是一元一次不等式
上页谈了不等式的解集。这页回到起点：什么样的不等式才叫「一元一次」？我们看它的结构。
姓名=一元，职级=一次，关系=不等号——三栏齐了才算完整
解一元一次不等式的步骤
解一元一次方程的五步你背得滚瓜烂熟：去分母、去括号、移项、合并、系数化1。解不等式走的是同一套路——但最后一步藏了个暗坑：除以负数时，不等号必须翻转。
前四步照搬解方程的路子；最后除负数时，整盘菜的'方向'要反过来
步骤详解：去分母与去括号
解含分母和括号的不等式，要依次把结构"剥干净"；关键陷阱：乘除负数时不等号必翻转。
步骤详解：移项与合并
去完分母和括号，剩下的项还散落两边。移项把它们归拢，合并同类项把同类化简。
步骤详解：系数化为1
系数化为1看着像一步除法，其实要先看系数正负，再决定要不要变号。
不等式 vs 方程：步骤对比
解不等式和解方程步骤几乎一样，但乘除负数时方向会"反转"——这是大多数学生栽跟头的地方。
- 去分母：方向永远不变
- 移项：方向不变
- 系数化为1：方向永远不变
- 结果：少数确定解（等号）
- 去分母：乘负数则方向反转
- 移项：方向不变
- 系数化为1：除负数则方向反转
- 结果：连续解集（不等号）
什么是一元一次不等式组
之前我们解过单个不等式，比如 2x > 6。但现实问题里，条件往往不止一条——「x 大于 3」且「x 小于 10」。把多条不等式放在一起联合求解，就是不等式组。
每一关是一个不等式条件，必须全部通过才算通关
不等式组的解集
上页我们把多个不等式合在一起，组成'不等式组'。那什么 x 值才算它的解？比如既要求成绩≥60、又要求出勤率≥80%——只有两个条件同时满足的学生才算合格。
年龄合格 ∧ 票价合适，两个条件都过的人才能进场
求不等式组解集的步骤
先逐个击破每个不等式，再把所有解集的公共部分取出来。
四种情况：解集规律图
从两个不等式出发，先判方向是否相同，再比大小，套口诀得解集
口诀详解：同大取大与同小取小
同向不等号的取法口诀易记混——'大''小'到底指谁？分清不等号开口方向就不慌。
- 形式：x > a 且 x > b（两不等号同向开口朝'大'）
- 取法：解集为 x > max(a, b)，取较大端点
- 数轴：两箭头都向右，从较靠右的端点开始
- 诀窍：两'大'挑更大的当门槛
- 形式：x < a 且 x < b（两不等号同向开口朝'小'）
- 取法：解集为 x < min(a, b)，取较小端点
- 数轴：两箭头都向左，到较靠左的端点为止
- 诀窍：两'小'挑更小的当门槛
口诀详解：大大小小与小大大小
同样是「一左一右」的箭头排列，一个解集为空、一个却能取中间，区别全在「小、大」两个数谁站左边。
- 写法：x > 大数 且 x < 小数
- 示意：数轴上「大」反而站到了左端
- 例题：x > 5 且 x < 3
- 结论：两段互不相交，解集为空集
- 写法：x > 小数 且 x < 大数
- 示意：数轴上「小」在左、「大」在右
- 例题：x > 3 且 x < 5
- 结论：解集为 小数 < x < 大数
例题：求不等式组解集
左侧两条分支分别解两个不等式，结果汇入数轴后取交集。
数轴基础：如何表示不等式
地图上找目的地，店员说『往东走 3 公里』——你已经在用数轴定位了。
起点＝原点，箭头＝正方向，间距＝单位长度
常见不等式的数轴表示
数轴看不等式只看两件事：箭头方向与端点形状。
不等式组的数轴表示
把两个不等式的解集分别画在数轴上,两段线重叠的部分就是不等式组的解集
自测：判断解集情况
不等式组 {x > 5, x < 2} 的解集是？
知识要点回顾
- ✓解集是范围而非一个点——这是不等式与方程最根本的分野
- ✓除以负数必翻号，这是从方程跨到不等式唯一需要警惕的一步
- ✓口诀的四种情况，本质是各解集在数轴上的交集运算
- ✓数轴是验证利器：交集为空即无解，全覆盖即任意实数
课后思考
先独立思考写下思路，再对照参考答案——问题没有唯一标准解，重点是思考过程。
参考答案交集即"同时满足"的部分。两个同向不等式中，限制更严的那个决定边界——上界"压低"取下，下界"抬高"取上，所以"取极端"。这是由交集定义推出的逻辑必然，不靠经验。
参考答案利润率条件 (x−8)/8 ≥ 20% 化简得 x ≥ 9.6；不超过进价 1.5 倍得 x ≤ 12。解集 9.6 ≤ x ≤ 12。本题核心能力：把每个文字条件准确翻译成数学式。
参考答案仍成立。求不等式组的本质是求交集，而交集满足结合律：先合 x > 1 与 x > 3 得 x > 3，再与 x < 5 组合得 3 < x < 5。多于两个不等式时都可两两依次化简。