数学大学
函数的性质
高等数学习题课 · 第一章 实数与函数
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
函数的性质
高等数学习题课 · 第一章 实数与函数
映射与函数定义
映射是两集合间的对应法则，实数到实数的映射就是函数。
三要素
定义域、对应法则、值域
相等
定义域与对应法则都相同才算同一函数
复合与基本初等函数
五类基本初等函数经有限次四则与复合，生成一切初等函数。
基本五类
幂、指数、对数、三角、反三角
复合条件
内层值域须落入外层定义域
反函数
反函数把输出映回输入：单射保证反函数存在。
存在条件
一一对应的函数才有反函数
图像
y=f⁻¹(x) 与原函数关于 y=x 对称
本节要点
- ✓函数三要素缺一不可
- ✓基本初等函数是积木
- ✓单射才有反函数
延伸主题：复习五类基本初等函数求一个复合函数的定义域
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么说初等函数「在定义域内连续」？
参考答案五类基本初等函数在各自定义域内图像连续不断，经有限次四则与复合（不越定义域）后连续性保持。这使初等函数的极限大多可用代入法直接求得。
2复合函数定义域为什么要「由内向外」逐步约束？
参考答案内层函数的值域必须落在外层函数的定义域内，复合才有意义；先求内层定义域，再对结果施加外层定义域的约束，两条限制的交集就是复合函数的定义域。
3反函数的图像为什么关于 y=x 对称？
参考答案互为反函数的两条曲线上的点 (a,b) 与 (b,a) 关于直线 y=x 镜像对称。这条几何性质反过来也提供了画反函数图像的快捷方式：把原图像沿 y=x 翻折。