数学大学
第一类曲线积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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数学大学
第一类曲线积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
第一类曲线积分的引入
曲线形构件的质量问题：线密度不均匀，沿曲线积累质量。
分割
曲线切小弧段，每段近似均匀
求和取极限
Σρ·Δs 的极限即总质量
第一类曲线积分的定义
第一类曲线积分对弧长积分：分割、采样、求和、取极限。
定义
∫_L f(x,y,z) ds
与方向无关
ds 恒正，沿哪个方向积都一样
第一类曲线积分的性质
性质：线性、对曲线可加、保序与中值定理。
可加性
曲线分段积分相加
保序
f ≤ g 则积分同样 ≤
第一类曲线积分的计算公式
参数化代入：ds 换成 √(x′²+y′²+z′²)dt，化为定积分。
参数式
x=x(t) 等三个分量代入被积函数
下限小
参数下限必须小于上限
第一类曲线积分的计算例题
例题：圆弧与折线上的积分，注意对称性带来的化简。
对称化简
曲线与函数双对称时积分减半或为零
分段
折线分段参数化，逐段积分相加
本节要点
- ✓物理原型：变密度曲线的质量
- ✓对弧长积分，与方向无关
- ✓参数化代入化为定积分
延伸主题：算圆上一段弧的积分利用对称性化简一次计算
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1第一类曲线积分用对称性化简的条件与二重积分一致吗？
参考答案逻辑一致：曲线（积分域）关于某轴或平面对称，且被积函数具相应奇偶性时，积分为零或减半。域的对称与函数的奇偶必须匹配，缺一不可。
2曲线积分化为定积分时，参数化的选择影响结果吗？
参考答案不影响积分值——弧长是几何量；但影响计算繁简。选参数让 ds 的根号因子最简（圆用角度、直线用坐标本身）是实战技巧。下限必须小于上限是硬规则。
3空间曲线与平面曲线的第一型积分计算有什么差别？
参考答案仅差 ds 的组成：平面是 √(x′²+y′²)，空间多一项 z′²。方法、性质、对称性化简完全平行，掌握平面版即自动掌握空间版。