数学大学
信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
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信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
正弦比函数——正弦比函数
正弦比函数 sin(x)/x：分子分母同趋零而极限为一，是矩形窗频谱的形状。
定义
sin(x)/x，x=0 处取极限值 1
零点
在 x=±π、±2π 处过零
来源
矩形窗的傅里叶变换正是此形状
正弦比函数——正弦比函数10
改变尺度参数的正弦比函数：横轴伸缩，零点间隔与主瓣宽度随之变化。
尺度伸缩
时间尺度 T 让零点间隔变为 π/T
窗长联系
窗越长主瓣越窄，正对应尺度变大
正弦比函数——正弦比函数11
继续变换参数的正弦比函数：旁瓣衰减与能量分布的规律观察。
旁瓣衰减
旁瓣幅度随远离主瓣按 1/x 衰减
能量集中
大部分能量集中在主瓣内
本节要点
- ✓正弦比函数零点在 π 整数倍
- ✓它是矩形窗的频谱形状
- ✓尺度伸缩改变零点间隔
- ✓能量集中于主瓣
延伸主题：画出 sinc 曲线对照矩形窗频谱验证
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么正弦比函数在 x=0 处有意义？
参考答案分子分母同趋于零是不定式，用洛必达法则得极限 cos(0)/1 = 1。按连续性在该点定义为一，函数就处处有定义。
2正弦比函数与矩形窗有什么关系？
参考答案矩形窗的傅里叶变换正是正弦比函数形状：时域越方，频域越「梳齿拖尾」。矩形窗旁瓣泄漏大的根源就在这里。
3旁瓣按 1/x 衰减意味着什么？
参考答案离主瓣越远，旁瓣幅度按距离的一次方倒数下降——衰减较慢，远处的强频率仍可能泄漏到近处频段。这也是矩形窗泄漏抑制能力弱的数学解释。