单摆

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✦ 单摆物理单摆

简谐近似周期公式能量守恒边界条件

单摆

从力的分解到周期公式的完整推导，搞清小角度近似的前提与边界

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简谐近似周期公式能量守恒边界条件

单摆

从力的分解到周期公式的完整推导，搞清小角度近似的前提与边界

1第 1 页 · 单摆

通过图像分析物理量关系

上一页我们看到单摆做周期性往复运动，但只看过程很难分辨'谁领先谁'。这一页把位移、速度、加速度画在同一张时间轴上，相位关系一目了然。

x-t 图像：正弦曲线

位移按 sin 变化，周期 T = 2π√(L/g)；从平衡位置开始为正弦，最高点开始为余弦

v-t：相位超前 x 90°

最高点 v=0，经过平衡位置 v 最大；速度比位移早 π/2 到达下一个状态

a-t：与 x 反相

F=-kx → a=-ω²x，加速度方向始终指向平衡位置，与位移方向永远相反

能量图像：频率翻倍

动能与势能各自在 0 和最大值间变化，周期是位移的一半；总机械能守恒为一条直线

看图三步法

①找零点和极值点 → ②判断相位先后 → ③用公式验证；图像题主要考相位关系

荡秋千的三个观察者对应 →x、v、a 的相位关系

位移是你离中间多远；速度是你跑多快，过中点最快；加速度是推你的力，永远把你往中间拽——方向总与位移相反

x = A\sin\omega t,\quad v = A\omega\cos\omega t,\quad a = -A\omega^2\sin\omega t

2第 2 页 · 通过图像分析物理量关系

简谐运动

上页 x–t 图是非常规整的正弦曲线。单摆只是其中一种——只要回复力与位移成正比且反向，弹簧、单摆小角、LC 回路都归为同一类。今天把这个一般化模型正式抓出来。

定义

回复力与位移成正比且方向相反

三要素

振幅A、角频率ω、初相位φ

运动学特征

位移、速度、加速度均为正弦型

能量特征

动能与势能持续转化，总机械能守恒

判定式

a = -ω²x 是最本质的判据

匀速圆周运动对应 →简谐运动

匀速转的点投到直径上，投影点的来回摆就是简谐

x = A\cos(\omega t + \varphi),\quad a = -\omega^2 x

3第 3 页 · 简谐运动

回复力

上一节我们知道单摆做的是简谐运动。但「为什么会来回摆」还差最后一块拼图——是什么力把它拉回来的？这个力长什么样、什么时候近似成立，今天把它讲透。

回复力的定义

始终指向平衡位置、把物体往平衡位置拽的力

单摆中谁在回复

重力沿圆弧切线方向的分量 F = mg sinθ

小角度近似

θ 很小时 sinθ ≈ θ，F ≈ -(mg/L)x

负号的含义

力方向始终与位移方向相反，这是产生简谐运动的关键

近似的边界

θ < 5°~10° 近似成立；超出后不再是严格简谐运动

碗里滚动的小球对应 →单摆的回复力

碗的弧形对应摆球走过的圆弧轨迹，重力切向分量总把它拉回碗底

F_{\text{回}} = -mg\sin\theta \approx -\frac{mg}{L}x \quad (\theta\text{ 很小})

4第 4 页 · 回复力

单摆

前面看到回复力把物体拉回平衡位置。但一根线挂着球来回晃——哪些条件满足时，才算物理里严格的'单摆'？

理想化模型

细线不可伸长、绳端无摩擦、摆球视为质点，且忽略空气阻力

小角度近似

θ<5° 时 sinθ≈θ，运动退化为标准简谐振动

回复力来源

重力沿圆弧切向的分量 mgsinθ 提供回复力

典型应用

伽利略借摆的等时性测脉搏，摆钟据此计时；实验中也用于反推 g

理想弹簧振子对应 →理想单摆

都先剥掉现实中的摩擦与阻力，仅保留恢复力与惯性的关系

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

5第 5 页 · 单摆

小角度近似

上页我们得到单摆回复力 F = -mg sin θ，正比于 sin θ 而非线性——还不能直接说它是简谐运动。要跨过这道坎，就必须做一步近似：小角度近似。

数学根源

泰勒展开 sin θ = θ - θ³/6 + ...，θ 必须用弧度制

角度阈值

θ ≲ 5°（约 0.087 rad）时，三次项比 θ 小两个数量级

线性化结果

运动方程变为 θ̈ + (g/L)θ = 0，即标准简谐运动

等时性

周期 T = 2π√(L/g)，与振幅无关——伽利略的发现

脚下的一小段地面对应 →小角度正弦曲线

地面其实是弯的，但脚下几米看不出弧度——小段圆弧近似成直线；θ 很小时 sin 曲线也同理

\sin\theta \approx \theta \quad (\theta \ll 1\text{ rad}); \qquad T = 2\pi\sqrt{L/g}

6第 6 页 · 小角度近似

单摆周期

小角度近似下，单摆的运动就成了我们熟悉的简谐运动——周期该怎么算？这页来拆。

周期定义

摆球完成一次完整往返所需的时间

周期公式

T=2π√(L/g)，仅适用于小角度近似

决定因素

只取决于摆长L和当地重力加速度g

等时性

摆长相同时，周期几乎与振幅无关

荡秋千对应 →单摆等时性

绳子一样长时，荡高荡低往返时间几乎一样

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

7第 7 页 · 单摆周期

影响单摆周期的因素

上页在小角度近似下得到了周期公式——那这个周期到底由哪些量决定、又与哪些看似相关的量无关？这页要拆开讲清楚。

摆长 L

摆线越长，周期越大；周期与 L 的平方根成正比

重力加速度 g

g 越大，周期越小；周期与 g 的平方根成反比

与摆球质量无关

无论摆球 10g 还是 10kg，只要 L、g 相同，周期就一样

等时性：与振幅无关

小角度内不同振幅周期相同；超出近似范围则不再严格成立

落地钟的摆锤对应 →周期由摆长决定、与质量无关

不管理论上多重的摆锤，只要摆长一样，走时节奏就一致

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

8第 8 页 · 影响单摆周期的因素

本节要点

串联本节知识点，给出记忆锚点与易错提醒

本节要点

串联本节知识点，给出记忆锚点与易错提醒

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考三个问题，试着写出思路；再看参考答案对照。不必追求标准答案，能自圆其说即可。

1为什么推导单摆周期公式时必须做小角度近似？若不采用，方程会变成什么样？

参考答案小角度下 sinθ≈θ，运动方程才化为标准简谐运动方程 F=-kx 形式；角度大时 sinθ≠θ，恢复力不再与位移严格成正比，周期随振幅变长，不再是常量。

2若要在月球上设计一座摆钟，周期会如何变化？需要调整哪些参数？

参考答案月球重力加速度约为地球的 1/6，由 T=2π√(L/g) 知周期变长约 √6 倍；可缩短摆长补偿，或重新校准走时机构。

3当摆角增大到 60° 甚至更大时，运动还是简谐运动吗？为什么周期会变化？

参考答案不再是严格简谐运动。θ 较大时 sinθ 的泰勒展开中高阶项不可忽略，恢复力与位移不成线性关系，周期随振幅增大而变长。

10第 10 页 · 课后思考