质谱仪与回旋加速器

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✦ 质谱仪与回旋加速器物理质谱仪与回旋加速器同位素

洛伦兹力带电粒子质谱仪回旋加速器

质谱仪与回旋加速器

通过两台经典装置，看清洛伦兹力公式如何决定粒子轨迹与装置参数。

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洛伦兹力带电粒子质谱仪回旋加速器

质谱仪与回旋加速器

通过两台经典装置，看清洛伦兹力公式如何决定粒子轨迹与装置参数。

1第 1 页 · 质谱仪与回旋加速器

利用联合方程求粒子轨道半

接着上一页，质谱仪和回旋加速器都靠磁场让带电粒子拐弯转圈。要算出粒子究竟转多大的圈，光知道磁场力还不够——必须把它和描述圆周运动的向心力方程联立起来，才能解出轨道半径。

力的等式

磁场中粒子受洛伦兹力 qvB，恰好等于圆周运动所需的向心力 mv²/r

联立求解

把两个方程连成等式，消去速度 v，只剩半径 r 一个未知量

最终公式

r = mv/(qB)：半径与动量成正比，与电荷、磁感应强度乘积成反比

典型应用

质谱仪靠不同半径区分同位素；回旋加速器据此估算 D 形盒尺寸

绳子拴小球转圈对应 →磁场中粒子圆周运动

绳的拉力像磁场力，都指向圆心提供向心力

r = \dfrac{mv}{qB}

2第 2 页 · 利用联合方程求粒子轨道半

分析磁场与电场综合作用

上页我们用 qvB=mv²/r 求出了轨道半径，但有个问题没解决：粒子的速度从哪来？磁场只能拐弯不能加速。这就要请电场登场了——两场配合，才是质谱仪和加速器的真正工作方式。

洛伦兹力总式

电场力与磁场力同时作用于粒子：F=qE+qv×B

电场改能量

电场沿力方向做功，能改变粒子速率与动能

磁场只拐弯

磁场力始终垂直速度，永不做功，只弯曲轨迹

速度选择器

正交场中 qE=qvB 时粒子直线穿过，恰有 v=E/B

正交场分工

电场负责筛速度，磁场负责分质量，各司其职

河水顺流加横风对应 →电场加速与磁场偏转

顺流把船推快（电场做功），横风把船吹偏（磁场偏转），互不干扰

qE = qvB \;\Rightarrow\; v = \dfrac{E}{B}

3第 3 页 · 分析磁场与电场综合作用

洛伦兹力与带电粒子圆周运

前面求轨道半径时直接用了qvB=mv²/r——可磁场凭什么、又靠什么规则让粒子拐弯？要把这件事讲清楚，得从最基础的力——洛伦兹力讲起。

洛伦兹力定义

磁场对运动电荷的作用力，大小F=qvBsinθ，v⊥B时取最大值qvB

方向与做功特性

F同时垂直于v与B，由左手定则判定；因F⊥v故永不做功

圆周运动条件

v与B垂直时，洛伦兹力恰好充当向心力，粒子做匀速圆周运动

半径与周期的尺度

r=mv/(qB)随速度增大；T=2πm/(qB)与速度无关，是回旋加速器的物理基石

绳子拴小球甩圈对应 →磁场束缚带电粒子

绳子沿径向拉不改变速率；洛伦兹力也始终垂直速度，不改变速度大小，只负责拐弯

F=qvB\sin\theta,\quad v\perp B\Rightarrow F=qvB;\quad r=\frac{mv}{qB};\quad T=\frac{2\pi m}{qB}

4第 4 页 · 洛伦兹力与带电粒子圆周运

电场加速带电粒子

上一页磁场只改变速度方向、不改变大小。电场则相反——它能给粒子'提速'。从老式电视的电子枪到直线加速器的入口段，背后都是同一个原理。

电场力做功

电荷q在电场E中受F=qE，沿电场方向位移时电场力做正功，把电势能换成动能

动能定理公式

qU=½mv²，加速后v=√(2qU/m)，与电量正比、与质量反比

方向决定加减

电场方向与运动同向则加速，反向则减速；交变电场可对粒子做周期性加速

非相对论边界

公式基于牛顿力学，仅适用于v≪c；v接近c时需用相对论动能Ek=(γ-1)mc²修正

典型应用

电子枪（CRT显像管）、X射线管、范德格拉夫静电加速器、直线加速器入口段

物体从高处自由下落对应 →带电粒子在电场中加速

都是保守力做功、把势能换成动能；但重力只能加速，电场方向可变，能加也能减

qU = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

5第 5 页 · 电场加速带电粒子

质谱仪原理

前几页分别讲了电场加速与磁场偏转——把这两步按顺序串起来，就是质谱仪的核心思路。

速度选择器

正交 E 与 B 中，仅 v=E/B 的粒子沿直线通过

磁场中偏转

qvB 作向心力，半径 r=mv/qB 与 m/q 成正比

位置检测

不同 m/q 的离子打在探测器不同位置

流水线按尺寸分拣零件对应 →质谱仪按 m/q 分离离子

零件尺寸不同落点不同，对应离子 m/q 不同打到不同位置

\dfrac{m}{q}=\dfrac{rB^2}{E}

6第 6 页 · 质谱仪原理

比荷测量

上一页我们知道质谱仪能按半径把粒子分开。那它真正在'读'的，是哪个物理量？答案是比荷——它像粒子的指纹，决定了粒子在电磁场中的一切行为。

比荷定义

比荷 q/m 是电荷量与质量的比值，单位 C/kg；由粒子种类决定，是本征量

质谱仪反推式

电场加速 + 磁场偏转联立：q/m = 2U/(B²r²)，U、B、r 三量均可直接测得

回旋周期法

回旋加速器中 T = 2πm/(qB) 与速度无关；测 T 与 B 也可独立推出 q/m

边界与典型应用

公式默认非相对论；高速需修正。用于同位素鉴别、电子荷质比测定等

人的指纹对应 →比荷 q/m

不同粒子比荷不同→指纹不同；测出比荷就能反推粒子身份

\dfrac{q}{m}=\dfrac{2U}{B^{2}r^{2}}

7第 7 页 · 比荷测量

回旋加速器原理

上一页我们用单次电场把粒子加速，但一次加速能获得的速度有上限。能不能让粒子反复穿过加速区、每次都加一点能量？

D型盒结构

两个中空半圆金属盒（Dees），盒内只受磁场，间隙受电场加速

磁场约束圆周运动

垂直磁场让粒子做匀速圆周，半径 r=mv/qB

回旋频率与速度无关

非相对论下 f=qB/2πm，转一圈时间与速度无关

同步加速原理

交变电场频率等于回旋频率，粒子每次过间隙都被正向加速

相对论能量上限

速度接近光速时质量增大，回旋频率改变，同步被打破

推秋千对应 →回旋加速器同步加速

秋千有固定摆动周期（对应回旋频率），推的人按同一节奏（交变电场）在最低点推一下，能量越积越多

f = \dfrac{qB}{2\pi m}

8第 8 页 · 回旋加速器原理

回旋加速器周期

上一页粒子越旋越大，但有个反直觉的事实：无论圈大圈小，每绕一圈花的时间完全相同。这就是回旋周期最迷人的地方。

周期 T

粒子在磁场中绕行完整一圈所用的时间

周期公式

T=2πm/(qB)，仅取决于质量、电荷和磁场

与速度无关

v 越大半径 r 也越大，二者增长恰好抵消

同步条件

交流电源频率 f=1/T 必须与粒子回旋频率严格匹配

旋转木马对应 →回旋周期

不管坐内圈还是外圈，所有人同时回到出发点

T = \dfrac{2\pi m}{qB}

9第 9 页 · 回旋加速器周期

同位素

质谱仪能把"氢"分成轻氢和重氢——明明都是氢，为什么质量不一样？这就是同位素。

定义

质子数相同、中子数不同的同一元素的不同原子，互称同位素

化学性质相同

电子数与排布一致，化学反应行为几乎相同，化学方法难以分离

物理性质不同

质量不同导致比荷不同，在电磁场中轨道半径不同（质谱仪分离的根据）

稳定 vs 放射

有的同位素稳定，有的具放射性并有半衰期，如 ¹⁴C、²³⁵U、¹³¹I

延伸应用

¹⁴C 考古测年、¹³¹I 治疗甲状腺、²³⁵U 浓缩作核燃料

同款车不同排量版本对应 →同位素

外观标识相同（化学性质一致），排量不同（质量不同），加速表现不同（电磁场中运动不同）

10第 10 页 · 同位素

本节要点

✓回旋周期 T=2πm/qB 与速度无关，是同步加速的根基
✓质谱仪本质是比荷分离器，靠轨道半径反推粒子身份
✓洛伦兹力只拐弯不做功，电场力做功改变动能与速度
✓r=mv/qB 是串联电场加速与磁场回旋的桥梁方程

延伸主题：速度选择器原理复合场中粒子运动分析霍尔效应与比荷应用

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先遮住参考答案独立想一会儿，再对照——好的物理问题，答案不是终点，而是入口。

1回旋加速器中粒子做圆周运动的周期为什么与速度无关？

参考答案周期 T = 2πm/(qB)，只与质量、电荷、磁场有关。速度增大时半径正比增大，但角速度不变。工程意义：可用固定频率的交变电场反复同步加速，这就是回旋加速器能用同一电源反复工作的根本原因。

2如果要把一束含有两种同位素的离子分开，你会怎么设计一个质谱仪？依据的核心物理量是什么？

参考答案让离子先经过速度选择器筛出相同速度的粒子，再进入偏转磁场。不同比荷 q/m 的粒子在磁场中半径 r = mv/(qB) 不同，从而打在探测器不同位置——核心物理量就是比荷。

3当粒子速度接近光速时，经典回旋加速器还适用吗？最根本的限制来自哪里？

参考答案不再适用。相对论下粒子质量随速度增大而增大，周期 T = 2πm/(qB) 也随之变化，与固定频率的交变电场失谐，粒子无法持续被加速——这就是经典回旋加速器的速度上限。

12第 12 页 · 课后思考