动量定理

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✦ 动量定理物理动量定理动量
经典力学冲量与动量适用边界矢量分析

动量定理

弄清冲量与动量变化的定量关系，掌握它的适用边界与近似陷阱

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经典力学冲量与动量适用边界矢量分析

动量定理

弄清冲量与动量变化的定量关系，掌握它的适用边界与近似陷阱

1第 1 页 · 动量定理

为什么要引入动量

同样速度飞来的篮球和铅球砸向你，伤害天差地别——光看速度描述不了这个差异，物理需要一个同时包含'多重'和'多快'的量。

F=ma 只描述瞬时
撞车、击打、抛接是有限时间的过程，ma 只能算某一刻的加速度，整体效果说不清
变质量时 ma 失效
火箭喷气、甩链球、雨滴下落中质量在变，牛顿写的原版第二定律其实是 F=Δp/Δt
动量守恒更具普适性
完全非弹性碰撞中动能不再守恒，但动量始终守恒——动量更接近基本守恒律
撞车后的维修总账对应 →动量 p=mv

撞车只看赔多少；动量也只看'多重×多快'的总账，ma 反而像流水账太琐碎

2第 2 页 · 为什么要引入动量

动量的定义

上一节我们发现，光看速度判断不了两辆车的危险程度。现在给这个「运动量」下严格定义——它就是质量与速度的乘积。

定义
质量与速度的乘积，符号 p
矢量，方向同速度
既有大小也有方向，方向永远与速度一致
瞬时状态量
描述某一时刻的运动状态，速度变它就变
单位 kg·m/s
无独立专门名称，区别于 N（力的单位）
超市推空车和满载车同速推行对应 →质量越大，动量越大

满载车明显更难刹住——质量放大动量效应

p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v}
3第 3 页 · 动量的定义

动量的矢量性

动量是矢量，沿速度方向。坐标系下分解为分量，再合成回总动量。

图解渲染中…
A1：物体运动的速度，有大小和方向B1：动量定义为质量乘速度，方向沿vD1：x方向分量，等于mvxD2：y方向分量，等于mvy
4第 4 页 · 动量的矢量性

动量变化量

上一页我们知道动量是矢量、有方向。物理里更常问的是：动量「变了多少」「往哪边变」。这就引出了 Δp——动量的变化量。

定义
末动量减去初动量，记作 Δp = p末 − p初
矢量减法
按平行四边形或三角形法则，不能直接数值相减
仍是矢量
Δp 既有大小也有方向，由减法本身确定
方向任意
Δp 方向不一定沿速度方向，如匀速圆周运动
位移对应 →动量变化量

都是末减初；次序不能颠倒；都是矢量

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{末}} - \vec{p}_{\text{初}}$
5第 5 页 · 动量变化量

动量变化量的图示

从 O 出发画 p₁ 与 p₂,反转 p₁ 得 -p₁,与 p₂ 首尾相接,合成即 Δp

图解渲染中…
O：共同起点,两矢量从此处出发A：初动量 p₁,从 O 指向初态B：末动量 p₂,从 O 指向末态D：变化量,矢量减法的几何结果
6第 6 页 · 动量变化量的图示

冲量的定义

前面我们算出了动量变化量，但'动量为什么会变'这个问题还没回答。答案藏在力与时间的搭配里——力作用一段时间后留下的'总效果'，物理上叫冲量。

冲量的定义
恒力下J=F·Δt；变力下J=∫F dt，本质都是力对时间的累积
矢量
方向与力的方向一致，遵循平行四边形合成法则
单位
N·s，与动量单位kg·m/s量纲相同
物理意义
描述力在一段时间内的'累积作用效果'，是动量变化的原因
给手机充电对应 →冲量

大电流短时间与长时间小电流可充入相同电量；F·Δt衡量力对时间的累积

J⃗=F⃗⋅Δt（恒力）;J⃗=∫t1t2F⃗ dt（变力）\vec{J}=\vec{F}\cdot \Delta t \quad\text{（恒力）};\quad \vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt \quad\text{（变力）}
7第 7 页 · 冲量的定义

冲量的方向

上节我们用 I = F·Δt 定义了冲量，但还没回答「冲量朝哪个方向」。今天先处理最干净的情形——力的大小和方向都不变，看看冲量方向跟什么对齐。

恒力下冲量方向与力一致
力的大小、方向都不变时，冲量 I 的方向与 F 完全相同，沿同一直线
Δt 是正标量
Δt > 0，乘以矢量 F 只改变大小、不改变方向
冲量方向 = Δp 方向
由动量定理 I = Δp，冲量方向与动量变化方向共线同向
变力情形方向需另行分析
力随时间变化时，要用 I = ∫F dt 求矢量和，方向不再简单等于某一瞬时力方向
踢静止的足球对应 →恒力冲量方向

脚踢的方向 = 球动量改变的方向 = 冲量方向，三者排成一条线

I⃗=F⃗ Δt, Δt>0⇒I⃗∥F⃗\vec{I}=\vec{F}\,\Delta t,\ \Delta t>0\Rightarrow \vec{I}\parallel\vec{F}
8第 8 页 · 冲量的方向

恒力冲量的计算

定义是 I=F·Δt，但要算对必须按顺序走完四步。

1
判断恒力
先确认力的大小和方向在 Δt 内都不变，公式才有适用前提
2
提取 F
写出 F 的大小和方向，冲量是矢量不能只给数值
3
确定 Δt
明确力作用的起止时刻，算出这段时间间隔
4
相乘得 I
大小相乘，方向沿 F，得出冲量矢量
9第 9 页 · 恒力冲量的计算

变力冲量与平均力

接住飞来的球，球对手的作用力从零增大到峰值再归零——这是变力，不是恒力。变力下冲量怎么算？之前 F·Δt 的套路还管用吗？

变力的冲量是面积
F-t 图像下方的曲边面积等于该力在 Δt 内的冲量 I
平均力的定义
让 F̄·Δt 等于曲边面积，即 F̄ = I/Δt
平均力是等效恒力
不是算术平均，而是产生相同冲量的恒定力值
回带动量定理
F̄ = Δp/Δt，把变力问题化归为恒力问题
水龙头时大时小放水对应 →变力冲量与平均力

不均匀流量放出总水量 = 平均流量 × 时间，与瞬时大小无关

Fˉ=IΔt=ΔpΔt\bar F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}
10第 10 页 · 变力冲量与平均力

动量定理的推导

前页我们分别认识了冲量 I 和动量变化量 Δp。它们为什么相等？这一页从最熟悉的牛顿第二定律 F=ma 出发，看它如何严格地推导出 I=Δp 的积分形式。

起点：F=ma
牛顿第二定律的矢量形式，假设质量 m 不变
改写加速度
a=dv/dt，把力视为改变速度的快慢
两边乘 dt
得到 F·dt=m·dv，建立微元对应关系
对时间积分
从 t₁ 到 t₂ 累积，得 ∫Fdt=mv₂-mv₁
得到冲量定理
冲量 I=∫Fdt 等于动量变化量 Δp
水流注入水池对应 →冲量累积动量变化

F·dt 是某瞬间注入的水量，对时间积分即总注入量，结果等于水池水位变化 Δp

F=mdvdt⇒F dt=m dv⇒∫t1t2F dt=mv2−mv1F=m\frac{dv}{dt} \Rightarrow F\,dt=m\,dv \Rightarrow \int_{t_1}^{t_2}F\,dt=mv_2-mv_1
11第 11 页 · 动量定理的推导

动量定理的物理意义

我们已经推导出 F·Δt = m·Δv，但这条式子不只是一个数学等式——它在说一件具体的事：力作用一段时间之后，物体的运动会发生怎样的变化。

因果关系
冲量是「因」，动量变化是「果」。等号左边是外因，右边是被作用的结果。
时间累积观
不看瞬时力，看力在时间上的累积效果——小力长时间也能改变很多动量。
矢量等式
动量变化的方向等于合外力冲量的方向，与运动轨迹无关。
始末状态观
只需知道初末动量，中间过程完全不用关心，这是处理复杂问题的关键。
银行存款账本对应 →冲量与动量变化

力=单位时间存取额，冲量=总存取额，动量变化=账户余额变化。

I=Δp⃗=p⃗末−p⃗初I = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{末} - \vec{p}_{初}
12第 12 页 · 动量定理的物理意义

动量定理因果图

从左往右是因果方向：外力F与时间t汇成冲量I，冲量等效转化为动量变化Δp。

图解渲染中…
a3：冲量I = ∫F dt，矢量，方向与F一致a4：动量变化Δp = p₂ − p₁，矢量差a5：末动量p₂由初态与冲量共同决定a6：由末动量决定后续惯性运动的轨迹
13第 13 页 · 动量定理因果图

动量定理解题步骤

解动量定理题的标准流程：定对象 → 析受力 → 算冲量 → 立方程，顺序不能乱。

1
锁定对象
判断是单物体还是系统；系统内力自动相互抵消
2
分析受力
列全外力，分清恒力与变力，卡准作用时间区间
3
计算冲量
各力冲量矢量求和；恒力 FΔt，变力用 F-t 图面积
4
立方程
取定正方向，列 I = Δp = mv末 − mv初，求解
14第 14 页 · 动量定理解题步骤

与牛顿定律的对比

牛顿定律与动量定理都描述力的效果，但面对变力、冲击力时，动量定理往往更省事——关键是什么时候该用哪个。

牛顿定律
  • 研究对象：单个质点
  • 适用条件：恒力或加速度恒定
  • 求解范围：位移、时间、瞬时速度
  • 过程要求：需要中间加速度变化细节
动量定理
  • 研究对象：单个物体（也可推广至系统）
  • 适用条件：恒力、变力、冲击力皆可
  • 求解范围：始末速度、作用时间、平均力
  • 过程要求：只看始末动量，无需中间过程
过程清楚、力恒定→牛顿定律；力变化或只需始末→动量定理。冲击、碰撞类问题，动量定理几乎总是更便捷。
15第 15 页 · 与牛顿定律的对比

分割短暂过程

上一页的「平均力」是个聪明但有损的近似——它把变力的所有起伏都抹平了。要严格处理变力冲量，得把短暂过程分割成无数瞬时，逐瞬时分析后再累加。

时间微元
把 Δt 切成无数极短的 dt
准恒近似
每个 dt 内 F(t) 可视为不变
瞬时冲量
该 dt 内冲量近似为 F(t)·dt
积分求和
∫F(t)dt 等于变力的总冲量
电影逐帧定格对应 →瞬时冲量求总

连续运动在极短帧内近似静止，每帧记录一次力，全部帧叠加就是总冲量

dI=F(t) dt,I=∫t1t2F(t) dtdI = F(t)\,dt,\quad I = \int_{t_1}^{t_2} F(t)\,dt
16第 16 页 · 分割短暂过程

平均力的定义

上页引出了「平均力」——和平均速度是同一类思路：你 100 米跑 10 秒，平均速度 10 m/s，这并不等于你每个瞬间真的就跑这个速度。平均力也不是某一瞬间真实作用在物体上的力。

等效恒力
相同时间内能产生与变力同样冲量的恒定力
等效标准
冲量相等，即动量变化量相等
数学定义
F_avg·Δt = ∫F dt，整个时间区间上冲量相等
几何意义
F-t 图中矩形面积等于变力曲线下面积
注意边界
数学等效，不是物体真的受到的力
平均速度对应 →平均力

同样路程同样时间走完的恒定速度 ↔ 同样冲量同样时间产生的恒定力

Favg=∫t1t2F dtΔt=IΔt=ΔpΔtF_{avg}=\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}F\,dt}{\Delta t}=\dfrac{I}{\Delta t}=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}
17第 17 页 · 平均力的定义

平均力的几何意义

F-t图中，真实变力曲线与等效矩形面积相同——这就是平均力的几何来源。

图解渲染中…
a1：实测或给定的变力 F(t) 随时间变化曲线，形状不规则b1：冲量的几何表示：从 t₁ 到 t₂ 之间曲线下面积c1：高取平均力 F̄，宽取作用时间 Δt 的等效矩形d1：等效性的核心约束：矩形面积必须等于曲线下面积
18第 18 页 · 平均力的几何意义

自测检验

点击作答

质量 m 的物体受变力 F(t) 作用，经过时间 t 后动量变化为 Δp。动量定理 Ft = Δp 中的 F 指的是：

19第 19 页 · 自测检验

知识要点回顾

  • ✓冲量是力对时间的累积，动量定理揭示过程的因果关系
  • ✓全矢量运算：动量、冲量、动量变化都须按矢量法则处理
  • ✓避开瞬时细节，用冲量反推平均力或末态动量是核心套路
  • ✓等价于牛顿第二定律的时间积分，适用范围更广
  • ✓因果方向明确：合外力的冲量是因，动量变化是果
延伸主题：动量守恒定律与碰撞分类角动量定理——转动情形的类比推广变质量问题与火箭推进
20第 20 页 · 知识要点回顾

课后思考

三道开放题，先合上屏幕自己想十分钟，再对照参考答案检查思路。

1动量定理最初是从恒力情况 F·Δt=Δp 推导出来的，但教材说它对变力也成立。这个推广的逻辑链条是什么？

参考答案关键在「分割再求和」。把变力过程切成无数小段，每段内力近似不变，每段都成立 dI=dp；把全部小段的冲量累加，总冲量就等于总动量变化。所以推广不是假设，而是分段累加的必然结果。

2从高处跳下落地时，为什么屈膝比直腿着地更不容易受伤？请用动量定理与「平均力」的概念做一次定量估算。

参考答案Δp 由落地速度（1m 高处 v≈4.4m/s）决定，是定值。F̄=Δp/Δt：硬着地 Δt=0.01s 时 F̄≈26 倍体重；屈膝 Δt=0.2s 时 F̄≈1.3 倍体重。屈膝通过拉长 Δt 把冲击力大幅稀释。

3火箭喷气时质量不断减小，已经不好用 F=ma 来描述加速度。这时动量定理还成立吗？为什么？

参考答案仍然成立。动量定理只要求「系统总动量变化=合外力冲量」，不要求质量不变。火箭向后喷气，气体带走动量 Δp，箭体获得等量反向动量——这就是火箭推进的本质。

21第 21 页 · 课后思考