三角函数的图象与性质

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图象性质周期变换单位圆函数对称

三角函数的图象与性质

从单位圆出发，看透周期、对称、单调与变换，串起六个函数的图象全貌

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图象性质周期变换单位圆函数对称

三角函数的图象与性质

从单位圆出发，看透周期、对称、单调与变换，串起六个函数的图象全貌

1第 1 页 · 三角函数的图象与性质

利用图象变换研究三角函数

你已经会画 y=sin(x) 的图象了。但考试题常变花样：y=2sin(x)、y=sin(2x)、y=sin(x+π/2)——每个都重画太累。能不能让原图自己变过去？这就是图象变换。

振幅变换
y=A·sin(x)，A 决定最高点与最低点的高度差
周期变换
y=sin(ωx)，ω 决定图象疏密，T=2π/ω
相位变换
y=sin(x+φ)，图象沿 x 轴左右平移 φ 个单位
上下平移
y=sin(x)+k，整个图象沿 y 轴上下搬动
变换顺序
复合时顺序敏感，平移和伸缩的先后会差一个相位
调收音机旋钮对应 →三角函数图象变换

音量=A 是振幅，频道=ω 是周期，进度条=φ 是相位

y=Asin⁡(ωx+φ)+ky = A\sin(\omega x + \varphi) + k
2第 2 页 · 利用图象变换研究三角函数

利用周期性求周期

上页用图象变换画出了 y=sin(2x+π/3)，但更根本的问题是——它的周期到底多大？这页从周期定义出发，用「代入反推」直接算。

周期定义
f(x+T)=f(x) 对定义域所有 x 恒成立，T 是周期
核心思路
代入已知 sin/cos 周期 2π、tan 周期 π，反解外层
标准结论
y=Asin(ωx+φ)+B 的周期 T=2π/|ω|，与 A、B、φ 无关
复合陷阱
y=sin²x 与 y=|sinx| 周期都是 π，不是 2π
常见误区
不可对各因子周期取最小公倍数求复合周期
齿轮传动比对应 →三角函数周期

ω 越大、'频率'越高，每周完成越快——所以周期 T=2π/|ω| 越短

Tsin⁡= 2π,  Ttan⁡= π,  TAsin⁡(ωx+φ)+B= 2π∣ω∣T_{\sin}=\,2\pi,\;T_{\tan}=\,\pi,\;T_{A\sin(\omega x+\varphi)+B}=\,\dfrac{2\pi}{|\omega|}
3第 3 页 · 利用周期性求周期

正弦函数图象

前一页我们用周期性算出了周期。这一页要看清「一个周期里图象长什么样」——这是后面所有变换的基础。

五点作图法
取0, π/2, π, 3π/2, 2π五点确定一段波形
关键点坐标
(0,0)→(π/2,1)→(π,0)→(3π/2,-1)→(2π,0)
原点对称
sin(-x)=-sin(x)，图象关于原点中心对称（奇函数）
周期与最值
最小正周期2π；值域[-1,1]，π/2+2kπ处取最大值1
单调区间
[-π/2+2kπ, π/2+2kπ]递增；[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]递减
摩天轮对应 →正弦函数图象

轮上一点的高度随角度变化的过程，就是 y=sin x 的一段

y=sin⁡x,x∈Ry = \sin x, \quad x \in \mathbb{R}
4第 4 页 · 正弦函数图象

余弦函数图象

上一张我们看了正弦函数从单位圆 y 轴投影展开的过程。现在把视线转向 x 轴——那个点在水平方向上的投影轨迹，就是余弦函数 y=cos x 的图象。

起点在最大值
x=0 时 cos 取到最大值 1，不经过原点
正弦左移 π/2
cos(x)=sin(x+π/2)，两图形状完全相同
偶函数
cos(-x)=cos(x)，图象关于 y 轴对称
基本要素
周期 2π，值域 [-1,1]，定义域 R
单摆从最大位移处开始计时对应 →余弦函数

都从极值出发再回到平衡，对应 cos 图象起点为 1

y=cos⁡x=sin⁡(x+π2)y=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
5第 5 页 · 余弦函数图象

三角函数的周期性

前面用 sin x 图象的「不断重复」求过 sin(2x) 的周期，但「重复」背后的数学定义是什么？这页给出严格的等式语言。

周期定义
存在 T>0，使 f(x+T)=f(x) 对定义域内所有 x 恒成立
最小正周期
所有正周期中最小者，记为 T₀；通常说的「周期」即指它
倍数仍是周期
若 T 是周期，则 nT（n∈ℤ，n≠0）也均为周期
常见最小正周期
sin x、cos x 为 2π；tan x、cot x 为 π
地球绕太阳公转对应 →三角函数的周期

轨道位置↔函数值，公转一圈↔走过一个 T，回到原位↔f(x+T)=f(x)

f(x+T)=f(x), T>0, ∀x∈Df(x+T)=f(x),\ T>0,\ \forall x\in D
6第 6 页 · 三角函数的周期性

三角函数的奇偶性

翻看上一页画的正弦、余弦图象，你会发现：余弦曲线左右翻折后跟原来一模一样，正弦曲线绕原点转 180° 也能跟原图重合。这种「翻折」与「旋转」的不变性，正是奇偶性的几何体现。

判断前提
定义域必须关于原点对称，否则奇偶性无从谈起
sin x 是奇函数
满足 sin(-x) = -sin x，图象关于原点对称
cos x 是偶函数
满足 cos(-x) = cos x，图象关于 y 轴对称
奇偶即对称
奇函数图象绕原点旋转 180° 不变，偶函数沿 y 轴翻折不变
复合函数的奇偶判定
奇±奇=奇，偶±偶=偶；奇×奇=偶，奇×偶=奇
镜子翻折 vs 原地转半圈对应 →偶函数 vs 奇函数的对称性

镜子立在 y 轴上左右互为镜像，是偶函数；图案绕原点旋转 180° 能复原，是奇函数

sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(-x) = -\sin x,\quad \cos(-x) = \cos x
7第 7 页 · 三角函数的奇偶性

五点法

前面我们见过正弦余弦的图象长啥样，但拿到变换函数 y=Asin(ωx+φ)+k，怎么快速作图？五点法是这类题的核心工具。

选点原则
一周期内取起点零、最高点、中间零、最低点、终点零共五对
正弦标准五点
(0,0)、(π/2,1)、(π,0)、(3π/2,-1)、(2π,0)
变换函数推算
令 ωx+φ 取 0、π/2、π、3π/2、2π，反解得各点 x 坐标
典型应用
快速作图、判断单调区间、与常数方程联立求交点个数
五官勾勒人脸对应 →五点勾勒波形

两最值（眼）+ 三零点（鼻嘴）抓骨架，不必逐点描摹

标准五点: (0,0), (π2,1), (π,0), (3π2,−1), (2π,0)\text{标准五点: }(0,0),\ \left(\tfrac{\pi}{2},1\right),\ (\pi,0),\ \left(\tfrac{3\pi}{2},-1\right),\ (2\pi,0)
8第 8 页 · 五点法

三角函数的单调性

前面看过正弦、余弦的图象，它们都像海浪一样有起有伏。这「一起一伏」的走势，就是我们今天要讲的单调性。

单调区间
函数在某个连续区间上只升不降（增）或只降不升（减）
正弦的单调区间
增区间 [-π/2+2kπ, π/2+2kπ]；减区间 [π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]
余弦的单调区间
增区间 [-π+2kπ, 2kπ]；减区间 [2kπ, π+2kπ]
典型应用
比较三角函数值大小、解三角不等式时，先确认区间单调性
海浪的起伏对应 →三角函数的单调性

浪从低到高的爬升段就是增区间，浪从高到低的回落段就是减区间

sin⁡x:↗[−π2+2kπ,π2+2kπ]; cos⁡x:↗[−π+2kπ,2kπ]\sin x:\nearrow\left[-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right];\ \cos x:\nearrow\left[-\pi+2k\pi,2k\pi\right]
9第 9 页 · 三角函数的单调性

三角函数的最大值与最小值

画正弦曲线时你已经看到它在 1 和 -1 之间来回摆动。那如果把图象整体抬高、加宽、压扁呢？最大值和最小值会跑到哪里？这一页把"最值"这件事彻底讲透。

基本函数的最值
sin x 与 cos x 的值域都是 [-1,1]，最大值 1、最小值 -1
一般形式的最值
y = A sin(ωx+φ)+B 的最大值是 |A|+B，最小值是 -|A|+B
取到最值的条件
当 sin(ωx+φ)=±1，即 ωx+φ=π/2+kπ (k∈Z) 时取到最值
决定因素
最值只由振幅 |A| 和位移 B 决定，与 ω、φ 无关
跷跷板的中点和两端对应 →三角函数图象的中线与最值

中点位置是 B，两端到中点的距离是 |A|，最高端 = B+|A|，最低端 = B-|A|

y=Asin⁡(ωx+φ)+B,ymax⁡=∣A∣+B,ymin⁡=−∣A∣+By = A\sin(\omega x + \varphi) + B,\quad y_{\max}=|A|+B,\quad y_{\min}=-|A|+B
10第 10 页 · 三角函数的最大值与最小值

本节要点

  • ✓五点法核心：零点与极值点交错，五点确定一周期骨架
  • ✓周期 T=2π/|ω|，只与 ω 有关；φ 仅左右平移图象
  • ✓单调区间恒长 T/4，最值恒为 ±A，变的只是位置
  • ✓变换顺序关键：φ 在 ωx 内先压缩，在外先平移
  • ✓奇偶性由 φ 决定：sin 型奇需 φ=kπ，偶需 φ=π/2+kπ
延伸主题：由图象求 y=Asin(ωx+φ) 解析式三角函数不等式求解三角函数应用题选讲
11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再看参考答案，对照自己的思路。

1余弦图象可由正弦图象怎样得到？为何？

参考答案利用诱导公式 cosx=sin(x+π/2)，余弦图象是正弦图象左移 π/2 得到。

2函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象如何反推 A、ω、φ？

参考答案找最高点与最低点定 A；由一个完整周期长度算 ω；取特定值代入定 φ。

3五点法能推广到变换后的三角函数吗？怎么用？

参考答案思路相通：先求 ωx+φ=0, π/2, π, 3π/2, 2π 对应的 x 值，再描点。

12第 12 页 · 课后思考
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