数学大学
多元函数微分学的几何应用
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
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多元函数微分学的几何应用
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
空间曲线的切线与法平面（
参数曲线的切向量 = 位置向量对参数的导数，切线与法平面由它生成。
切向量
T = (x′(t₀), y′(t₀), z′(t₀))
切线方程
点向式：r = r₀ + tT
空间曲线的切线与法平面（
以切向量为法向量的平面就是法平面：过该点垂直于运动方向。
法平面
T·(r−r₀) = 0
几何意义
质点速度方向在切线上，法平面横截运动
空间曲线的切线与法平面问
交线型曲线：曲线由两曲面相交给出时，切向量 = 两法向量的叉积。
隐式切向量
T = ∇F × ∇G，自动与两曲面相切
代入定切点
先解出切点坐标再代入求 T
曲面的切平面与法线（之一
显式曲面 z=f(x,y) 的法向量 = (f_x, f_y, −1)。
法向量
由 z−f(x,y)=0 的梯度读出
切平面
z−z₀ = f_x(x−x₀)+f_y(y−y₀)
曲面的切平面与法线（之二
隐式曲面 F(x,y,z)=0 的法向量就是梯度 ∇F。
梯度即法向
∇F 垂直于曲面的切方向
公式
F_x(x−x₀)+F_y(y−y₀)+F_z(z−z₀)=0
曲面的切平面与法线（之三
切平面与法线的应用：距离、反射与光学成像的几何基础。
点到面距离
用法向量与差向量做点积
反射定律
入射与反射关于法向量对称
曲面的切平面与法线问题举
综合例题：求切平面使其平行于给定平面或过指定点。
平行条件
法向量成比例 ⇒ 定出切点
过定点
把定点代入切平面方程解切点参数
本节要点
- ✓参数曲线：导数即切向量
- ✓曲面法向量：显式读梯度，隐式用叉积
- ✓法平面以切向量为法向
延伸主题：求一个曲面在某点的切平面算两曲面交线的切向量
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么曲面 F=0 上任一点的梯度 ∇F 就是法向量？
参考答案沿曲面走时 F 恒为零，全微分 ∇F·dr=0 对曲面上一切切方向 dr 成立——梯度与所有切方向垂直，自然就是法向量。梯度「垂直等值面」的一般规律在曲面上的直接体现。
2两曲面交线的切向量为什么等于两法向量的叉积？
参考答案交线同时躺在两张曲面上，切向量必须同时垂直于两曲面的法向量；叉积恰好给出与两法向都垂直的方向。这就是隐式曲线切向量的叉积公式。
3求切平面方程时「先定切点」为什么是第一步？
参考答案切平面过曲面上的切点，且法向量依赖切点处的偏导数值——两者都随切点变化。只有先解出切点坐标，法向量与点法式方程才有确定的数值。跳过这一步必然写出含未知量的悬空方程。