数学大学
多元函数的全微分
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
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多元函数的全微分
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
全微分的概念
全微分是全增量的线性近似：dz = f_x dx + f_y dy。
定义
Δz 与 dz 之差是 ρ=√(Δx²+Δy²) 的高阶无穷小
几何
用切平面近似曲面高度
可微的必要条件
可微必偏导存在且连续：可微是比偏导存在更强的条件。
偏导存在
可微 ⇒ 两个偏导都存在
连续
可微 ⇒ 函数在该点连续
可微的充分条件
偏导数连续是可微的充分条件，也是最常用的判别法。
判别流程
先验偏导连续，再用定义核验增量分解
边界情形
偏导不连续处用定义直接验证
可微的充要条件
可微 ⇔ 全增量可写成线性主部加高阶无穷小的形式。
增量分解
Δz = f_xΔx + f_yΔy + o(ρ)
验证手段
检查增量与线性部分之差比 ρ 趋于零
多元函数的原函数
已知全微分求原函数：逐变量积分，用另一变量的偏导校准常数。
还原方法
对 f_x 关于 x 积分，常数项设为 g(y)
校准
对 y 求偏导比对 f_y 确定 g(y)
本节要点
- ✓全微分 = 线性主部
- ✓偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续且偏导存在
- ✓原函数由全微分逐变量还原并校准
延伸主题：验证一个函数可微由全微分求原函数
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1可微性的定义验证为什么常在「特殊点」失效？
参考答案分段定义的函数在分界点处偏导可能存在但增量分解不成立——线性主部无法吸收路径差异。这类点必须回到定义：检查 Δz−dz 是否为 o(ρ)。
2可微的必要条件与充分条件「合起来」构成什么？
参考答案两者夹出可微的完整判别框架：偏导存在（必要）不充分，偏导连续（充分）不必要。介于两者之间的函数是否存在、增量差是否为高阶无穷小，需按定义单独验证。
3多元函数的「原函数」为什么可能不唯一？
参考答案全微分只约束偏导，相差一个常数的函数共享同一全微分。若还要求过某点或满足附加条件，常数项才被唯一确定——与一元不定积分加常数的情形平行。