平面向量基本定理及坐标表示

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平面向量基底分解坐标运算定理证明

平面向量基本定理及坐标表

看透定理的几何根基、坐标推演全过程与常见应用边界

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平面向量基底分解坐标运算定理证明

平面向量基本定理及坐标表

看透定理的几何根基、坐标推演全过程与常见应用边界

1第 1 页 · 平面向量基本定理及坐标表

平面向量基本定理

向量写成 (x, y)，本质是选了 (1, 0) 和 (0, 1) 当『度量基准』。但这只是特殊选择——平面里任何两个不共线的向量都能当基准。这就是平面向量基本定理要说的核心。

基底条件
需要两个不共线（方向不重合）的向量 e₁、e₂ 作基底
存在性
平面内任意向量 a 都能写成 λ₁e₁ + λ₂e₂ 的形式
唯一性
系数 λ₁、λ₂ 由 a 和基底唯一确定
基底不唯一
满足不共线的任何一对向量都能当基底,选择是自由的
坐标系的标准方向对应 →任意一对不共线向量

坐标系可以旋转、倾斜,基底方向也可以自由换,只要两个方向不重合

a⃗=λ1e1⃗+λ2e2⃗,e1⃗∦e2⃗\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2},\quad\vec{e_1}\not\parallel\vec{e_2}
2第 2 页 · 平面向量基本定理

基底（平面向量）

上一节已经知道「任意平面向量都能写成两个向量的线性组合」——但这两个向量必须满足什么条件？为什么不能多也不能少、还不能共线？这正是「基底」这个概念要回答的核心问题。

基底定义
平面内两个不共线的向量 e₁、e₂ 称为该平面的一组基底
三个构成要素
①恰好两个 ②不共线 ③都属于该平面
唯一表示
基底一旦确定，平面内任一向量 a 都可唯一写成 a=xe₁+ye₂
不共线是关键
若共线，只能表示该方向上的向量，且表示方式不唯一
基底不唯一
同一平面有无数组基底，这是后续坐标变换的基础
两枚独立面额的硬币对应 →平面向量的基底

面额互为倍数（「共线」）则凑金额方式不唯一，必须选两枚「独立」面额才能唯一凑出任意金额

a⃗=xe1⃗+ye2⃗(e1⃗∦e2⃗)\vec{a} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} \quad (\vec{e_1} \not\parallel \vec{e_2})
3第 3 页 · 基底（平面向量）

向量的正交分解

上页说到，任意两个不共线向量都能当基底。但工程和物理里最常用的，是互相垂直的那一对——这就是正交分解。

正交基底
分解所用两个方向 e₁、e₂ 必须互相垂直
唯一分解
任意 a 都能且只能写成 a = xe₁ + ye₂
直角坐标
x、y 就是向量在两轴上的有向投影长度
矩形对角线
xe₁、ye₂ 与 a 构成矩形，a 是对角线
斜光投到两面互相垂直的墙对应 →向量正交分解

墙垂直时两面影子才能唯一还原光；基底正交，坐标才唯一

a⃗=xe1⃗+ye2⃗, e1⃗⊥e2⃗\vec{a}=x\vec{e_1}+y\vec{e_2},\ \vec{e_1}\perp\vec{e_2}
4第 4 页 · 向量的正交分解

向量的坐标表示

上一节我们把任意向量拆成两个方向的分量。现在压缩成两个数字——这就是坐标。坐标让几何对象可以像代数一样被加减、被比较。

坐标定义
在基底 (e₁, e₂) 下，a = x·e₁ + y·e₂，则有序对 (x, y) 称为 a 的坐标
坐标唯一性
基底固定时，向量与坐标一一对应——这是「用坐标代替向量」的合法性
基底依赖性
基底不同，同一向量坐标不同；坐标是「相对于某基底」的结果，不属于向量自身
几何读法
在正交单位基底中，x、y 分别是向量在两条轴上的有向投影长度
电影院座位号对应 →向量坐标

「3排7座」依赖「排怎么数、座怎么排」的约定；约定变了，同一个位置的写法就变

a⃗=xe1⃗+ye2⃗  ⟺  a⃗↔(x,y)\vec{a}=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\leftrightarrow(x,y)
5第 5 页 · 向量的坐标表示

向量加减的坐标运算

上一页我们学会了用 (x, y) 两个数字表示一个向量。那顺理成章：两个向量相加或相减，落到坐标上是什么？答案是——对应分量分别相加减。

加法：分量相加
设 a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)，则 a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)，横纵坐标分别相加
减法：分量相减
a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂)；反序得 b-a=(x₂-x₁, y₂-y₁)，顺序决定符号
基底合并
把 a=x₁i+y₁j, b=x₂i+y₂j 同类项合并，相同基底系数相加/相减即得
端点求向量
A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ⇒ 向量AB=(x₂-x₁, y₂-y₁)，减法最经典的应用
东西向与南北向分别走路对应 →坐标向量的加减

东走3步+东走5步=东走8步；北走2步+北走4步=北走6步，两方向互不干扰

a⃗=(x1,y1), b⃗=(x2,y2) ⇒ a⃗±b⃗=(x1±x2, y1±y2)\vec{a}=(x_1,y_1),\ \vec{b}=(x_2,y_2)\ \Rightarrow\ \vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2,\ y_1\pm y_2)
6第 6 页 · 向量加减的坐标运算

向量共线的坐标条件

上一页我们把每个向量都写成了 (x, y) 的形式。两个向量方向是否一致，能不能不画图、只看坐标就判出来？这就是本节要解决的判别条件。

共线的坐标判定式
x₁y₂ − x₂y₁ = 0，即两向量坐标构成的二阶行列式为零
等价比值形式
当 x₂、y₂ 都不为零时，等价于 x₁/x₂ = y₁/y₂
λ 充要条件
存在非零实数 λ 使 a⃗ = λb⃗，与基本定理直接呼应
零向量的边界
零向量与任意向量共线，比值形式此时失效需另判
三点共线的应用
A、B、C 共线 � AB⃗ 与 AC⃗ 满足判定式
两人走路的步幅比例对应 →向量共线的比值条件

小明走 3 横 4 竖，小红走 6 横 8 竖——步幅比例一致，方向就完全相同

x1y2−x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
7第 7 页 · 向量共线的坐标条件

线段中点坐标公式

上页我们用坐标做向量加减——那能不能再走一步，把线段的中点也写成坐标？能，而且结论非常简洁：本质就是「两端坐标各自取平均」。

中点坐标公式
端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则中点M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
记忆要点
横坐标与横坐标平均，纵坐标与纵坐标平均，两步独立
向量推导
由 AM=½·AB 用坐标展开即得，是向量坐标运算的直接推论
典型应用
求三角形重心、证三点共线、求中点相关距离问题
两人分别报工资求平均对应 →两端坐标求中点

中点就是坐标版的「平均」：两个分量各自算术平均，地位平等、独立运算

M ⁣= ⁣(x1+x22,  y1+y22)M\!=\!\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\;\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)
8第 8 页 · 线段中点坐标公式

线段内部按比划分点坐标

上一页中点公式处理的是把 AB 平均切开。现在把'平均'放宽：若 P 把 AB 切成 λ:μ 而不是 1:1，P 的坐标怎么算？这就是定比分点要做的事，也是中点公式的自然推广。

中点是一般比特例
λ:μ = 1:1 时公式退化为中点 P=(A+B)/2，验证一致
内分点坐标公式
P = (μ·A + λ·B)/(λ+μ)，分母是比值之和
λ:μ 的对位关系
λ 对应 PB 段（配 B 端坐标），μ 对应 PA 段（配 A 端坐标）
内部点边界条件
λ,μ > 0 保证 P 在线段内；任一为 0 则 P 退到对应端点
外分点的延伸
λ,μ 异号时 P 落在 AB 延长线上，公式形式仍成立
天平/杠杆挂砝码对应 →分点 P 是平衡支点

质量与到 P 的距离成反比；离 P 远的端点需更重砝码，对应公式里 μ 配 A、λ 配 B

$$P = \left(\frac{\mu x_A + \lambda x_B}{\lambda + \mu},\; \frac{\mu y_A + \lambda y_B}{\lambda + \mu}\right), \quad \frac{AP}{PB} = \frac{\lambda}{\mu}$$
9第 9 页 · 线段内部按比划分点坐标

向量数量积的坐标公式

上页我们用坐标做了加减、判断了共线——这些都是「线性」运算。数量积涉及夹角，怎么把角度也化简成纯代数？这就要靠坐标系本身的「基底正交」性质。

公式形式
a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)，则 a·b = x₁x₂ + y₁y₂
推导关键
展开后交叉项因 i·j=0 消失，自乘项因 i²=j²=1 保留
几何等价
x₁x₂+y₁y₂ = |a||b|cosθ，把「求夹角」变成「求代数和」
垂直条件
a⊥b ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0，纯代数判断比几何法更稳
两家工厂各产两种零件对应 →数量积坐标公式

x、y分量像两种零件，两向量像两家工厂；按零件种类配对相乘再求总和

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2(a=(x1,y1), b=(x2,y2))\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\quad(a=(x_1,y_1),\,b=(x_2,y_2))
10第 10 页 · 向量数量积的坐标公式

向量长度的坐标表示

上一页用坐标算数量积，若把两个向量都换成同一个，结果就成了向量长度的平方——这就是长度坐标公式的入口。

公式
向量坐标为(x,y)，长度等于两坐标平方和的算术平方根
几何来源
基底正交，向量即直角三角形斜边，由勾股定理直接得出
与数量积的关系
自己点自己等于模的平方，是数量积公式的特例
典型应用
求两点距离、判断点是否在圆上、把几何问题代数化
勾股定理对应 →向量长度公式

向量对应斜边，坐标对应两条直角边长，公式结构完全一样

∣a⃗∣=x2+y2,a⃗=(x,y)|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \vec{a}=(x,y)
11第 11 页 · 向量长度的坐标表示

向量垂直的坐标条件

数量积坐标公式 a·b = x₁x₂+y₁y₂ 已经摆好。垂直意味着夹角恰为 90°，能否翻译成一条干净的代数等式？答案是肯定的——从定义出发即可完成推导。

核心等价
a⊥b 当且仅当 a·b = 0（且 a、b 均为非零向量）
推导逻辑
垂直⇒θ=90°⇒cosθ=0⇒|a||b|cosθ=0⇒数量积为零
坐标形式
设 a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)，则 x₁x₂+y₁y₂=0（a、b 非零）
边界提醒
零向量方向不定，必须先排除才能讨论垂直
典型应用
已知直线斜率 k，则 (1,k) 与 (-k,1) 即为方向向量与法向量
时钟3点和12点的指针对应 →向量垂直

两方向夹角恰为90°，多一分少一分都不算垂直

a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a≠0,b≠0)\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \quad (\mathbf{a} \neq \mathbf{0}, \mathbf{b} \neq \mathbf{0})
12第 12 页 · 向量垂直的坐标条件

两向量夹角公式

上页用 x₁x₂+y₁y₂=0 判断垂直，那只是 θ=π/2 一个特例。两向量既不正交也不平行时，夹角该怎么算？

夹角定义
两非零向量共起点后形成的角，范围 [0, π]；规定零向量夹角任意
核心公式
cos θ = a·b/(|a||b|)，本质是用代数运算代替几何测度
坐标公式
把点积和模长都换成坐标，分母是两个根号相乘
符号判角
a·b>0 锐角，=0 直角，<0 钝角；cos 在 [0,π] 上单调递减
边界与根源
θ=0 同向 cos θ=1，θ=π 反向 cos θ=-1；背后是 |a·b|≤|a||b|
钟表时针与分针对应 →两向量夹角

任意时刻两针张开角总在 0°~180° 之间，对应 θ∈[0,π]

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12 x22+y22\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}}
13第 13 页 · 两向量夹角公式

两角差的余弦公式

上一页我们用坐标法推出了两向量夹角公式。夹角里藏着 cos(α-β) 这种结构——今天就用向量这把「老工具」，把这个核心三角恒等式推导出来。

公式本体
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，对任意角 α、β 都成立
向量证法
取两单位向量 e₁=(cosα,sinα)、e₂=(cosβ,sinβ)，分别按坐标和定义算点积
核心地位
两角和公式、倍角公式、和差化积都由此变形得到
边界注意
几何证法中两向量夹角 ∈[0,π]，代数恒等式可解析延拓到任意角
一把万能钥匙对应 →两角差余弦公式

拧一拧就能开出倍角、和差化积、辅助角公式等多把锁

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
14第 14 页 · 两角差的余弦公式

本节要点

  • ✓基底一旦确定，向量坐标即唯一
  • ✓几何关系化为坐标运算：加减、数积、共线、垂直
  • ✓共线⇔坐标成比例，垂直⇔分量乘积和为零
  • ✓中点与定比分点是向量加减的坐标推论
  • ✓模²等于分量平方和，夹角由点积与模决定
延伸主题：空间向量基本定理向量与解析几何综合平面向量应用题
15第 15 页 · 本节要点

课后思考

先自己想，再看参考答案。三问分别回望核心、串联应用、试探边界。

1平面向量基本定理要求基底的两个向量不共线。如果把其中一个换成零向量，「任意向量都能被唯一分解」这个结论还成立吗？

参考答案不成立。零向量本身就允许无穷多种分解（系数任意），唯一性立即崩溃。这提醒我们：基底的「不共线」条件，本质是在排除退化情形——定理的成立是有边界的。

2已知三角形三个顶点的坐标，不画图，能否仅用坐标运算判断它是直角、锐角还是钝角三角形？说说你的思路。

参考答案能。算三条边对应向量的数量积：哪个等于零哪个角就是直角；若三个数量积均为正，则三个角都是锐角；若有且仅有一个为负，则对应的角是钝角。本质是把「角的大小」翻译成「数量积的符号」。

3本节把所有几何向量都翻译成了坐标运算。若把场景搬到三维空间，「两向量垂直」的坐标条件还是 x₁x₂+y₁y₂=0 吗？

参考答案形式完全一致，只是多一维：a⊥b 当且仅当 x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0。这节课的结论（共线、垂直、夹角公式）都能这样「+1 维」推广——平面向量坐标化思想可以无缝迁移到三维。

16第 16 页 · 课后思考
平面向量基本定理及坐标表示 · 知识图解