导数的运算

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✦ 导数的运算数学导数的运算导数

求导法则链式法则适用条件微积分

导数的运算

覆盖四则、复合、反函数求导法则，连适用前提与常见反例一起理清

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求导法则链式法则适用条件微积分

导数的运算

覆盖四则、复合、反函数求导法则，连适用前提与常见反例一起理清

1第 1 页 · 导数的运算

根据导数定义求导

上一页我们刚学完求导公式和四则运算——但你有没有想过：这些公式最初是怎么被发现的？而且总有些情况公式表查不到，比如分段函数的拐点、抽象函数的记号。答案都指向同一个地方：导数定义本身。

三步固定套路

求增量 Δy、算比值 Δy/Δx、取极限。前两步是代数整理，第三步决定成败。

何时必须回到定义

分段函数在分段点、抽象函数记号、公式未覆盖的初等函数——这些场景公式失效。

极限存在 ⇔ 可导

定义式极限存在则可导，极限值即导数；极限不存在则该点不可导。这是判可导的根本依据。

不断缩短的时间区间对应 →瞬时速度的定义

Δx 越短，平均速度越接近瞬时速度；但 Δx=0 时除法无意义——只能「趋近」而非「代入」。

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

2第 2 页 · 根据导数定义求导

利用导数公式求导

上一页用定义法求导，每一步都要算极限，对 x² 还算轻松，碰上 sin x 或 e^x 就很吃力了。能不能像背乘法口诀一样，把常用结论直接调出来？

核心思想

记住基本初等函数的导数，用代数规则拼出复杂函数的导数

基本公式

幂函数、指数函数、三角函数、对数函数的导数构成公式表

四则运算法则

和差直接拆；乘积用 (uv)′=u′v+uv′；商用 (u/v)′=(u′v−uv′)/v²

适用边界

公式法只对基本函数及四则组合成立；复合函数需另用链式法则

背乘法口诀对应 →背求导公式

九九表不用每次从 1+1 累加，公式不用每次从极限算起

(x^n)' = nx^{n-1},\quad (e^x)' = e^x,\quad (\sin x)' = \cos x,\quad (\ln x)' = \frac{1}{x}

3第 3 页 · 利用导数公式求导

应用链式法则求复合函数的

我们已经会求基本函数 y=x²、sin x 的导数，但现实中很多函数是'函数套函数'——比如 √(1+x²)、sin(x²)。这类复合函数怎么求导？这一页我们正式引入链式法则。

复合函数结构

形如 y=f(g(x))，内层 g(x) 的输出作为外层 f 的输入，像套娃

链式法则公式

外层对内层求导 × 内层对 x 求导：[f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)

解题三步走

①拆层识别内外；②分别求每层导；③相乘并把 g(x) 整体回代

多层链可推广

三层及以上照样逐层相乘，像锁链环环相扣不丢任何一环

工厂加工流水线对应 →复合函数链式求导

原料经 n 道工序变成品，总变化率 = 各道工序变化率相乘

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

4第 4 页 · 应用链式法则求复合函数的

导数

前几页我们学会了用定义、公式、链式法则求导。但 f'(x) 究竟是什么？为什么非要那个 h→0 的极限？这一页回到源头讲清楚。

瞬时变化率

函数在某点输入微变时输出的响应快慢

极限定义

用差商 [f(x+h)-f(x)]/h 在 h→0 时的极限严格定义

几何意义

f'(x₀) 等于曲线 y=f(x) 在 x₀ 处的切线斜率

可导必连续

可导必连续，连续不一定可导，|x| 在 x=0 是反例

汽车速度表对应 →导数

平均速度是总路程÷总时间，瞬时速度是 Δt→0 时的极限

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

5第 5 页 · 导数

导数的几何意义

导数你算过不少了——可 f'(x₀) 这个数字几何上到底是什么？它不是孤立的数，而是曲线在那一点'倾斜程度'的精确度量。

切线斜率

f'(x₀) 就是曲线在 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率

切线方程

过切点 (x₀,f(x₀))、斜率为 f'(x₀) 的直线方程

割线极限

切线是动点趋近定点时,连两点的割线的极限位置

两重身份

f'(x₀) 在物理上是瞬时速度,在几何上是切线斜率

方向盘的瞬时朝向对应 →曲线在该点的切线方向

车在弯路上每刻的方向正像切线,曲线在变但瞬时方向确定

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

6第 6 页 · 导数的几何意义

基本初等函数的导数

上一节我们用链式法则把复合函数'拆开再拼回去'，但拆开之后每一层本身得会求。基本初等函数的导数就是这套'口诀表'——所有复杂求导的起点。

六大类基本初等函数

常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数及其导数公式

结构对称性

sin 与 cos 互导差一个负号；e^x 求导不变，ln x 求导翻为 1/x

边界与限制

tan x 在 π/2+kπ 处不可导；arcsin x 在 ±1 处导数趋于无穷

求导法则的底座

链式法则、乘积法则等所有求导法则都建立在这六类公式之上

乘法口诀表对应 →基本初等函数的导数

再复杂的乘除都从口诀起步；再复杂的求导都从这六类公式起步

(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x$ $(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\frac{1}{x}

7第 7 页 · 基本初等函数的导数

幂函数求导公式

前面一页我们把基本初等函数的导数扫了一遍——指数、对数、三角都各有各的公式。今天单挑其中最常用、也是最'万能'的一个家族：幂函数。它形式简单，却藏着求导世界里最核心的规律。

通式

f(x)=x^a 求导得 f'(x)=a·x^(a-1)，前面的系数 a 正是原来的指数

a 为任意实数

a 取整数、负数、分数、无理数公式都成立，是适用范围最广的求导公式

三大典型场景

多项式各项求导、写切线方程、判断多项式型函数的单调性与极值

俄罗斯套娃对应 →x^n 求导得 nx^(n-1)

求导就像打开一层套娃：指数从 n 降到 n-1，剥落的最外层那个数字 n 顺势变成了前面的系数

f(x)=x^a,\quad f'(x)=a\,x^{a-1}

8第 8 页 · 幂函数求导公式

加减法求导法则

链式法则解决了复合函数求导，多项相加减的函数则交给加减法法则——这是日常求导最高频的工具，几乎所有复杂题目都会用到。

加减法法则核心

u(x) 与 v(x) 都可导，则 (u±v)' = u' ± v'，导数等于各自导数的和或差

有限项可推广

任意有限个可导函数相加减，逐项求导后再合并即可

失效的边界

某一项不可导时，法则直接不适用，需另行判断整体可导性

家庭收入合计对应 →函数加减求导

夫妇各查各账：总收入的变化率等于各自收入变化率之和

(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)

9第 9 页 · 加减法求导法则

乘法求导法则

加减法我们已会，但乘法呢？试 u=x², v=x³：(x²·x³)' = 5x⁴，而 2x·3x² = 6x³——直接相乘明显不对。乘法必须有自己的法则。

核心公式

(uv)' = u'v + uv'，两项相加，每项'导一个、留另一个'

常数因子推论

若一方为常数 c，则 (cu)' = cu'，是公式的自然退化

多因子推广

三个或更多因子相乘，每个轮流'求导一次'，其余保留再求和

商品营收 = 单价 × 销量对应 →两因子乘积求导

营收变化率 = 单价变化引起的 + 销量变化引起的，每因子各贡献一项

(uv)' = u'v + uv' \quad (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

10第 10 页 · 乘法求导法则

商法求导法则

乘法法则刚学过，但是除法呢？比如 tan x 怎么求导？这就要用到商法求导法则了。

商法则公式

(u/v)' = (u'v - uv')/v²，分子减号、分母平方

为何是减号

除以 v 等价于乘 1/v，而 1/v 求导自带负号

分母不能为零

v ≠ 0 是前提，分式存在才能谈求导

典型应用

求 tan x、cot x 等三角函数的导数

合伙做生意分红对应 →商法则

分子像收入增长，分母像份额缩水；减号=涨减跌，分母平方防低估

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2},\quad v \neq 0

11第 11 页 · 商法求导法则

复合函数

加减乘除的求导公式只能对付单层结构，但真实函数大多是嵌套的——比如 sin(2x+1)、e^(x³)、ln(x²+1)。一层套一层，这就是复合函数，也是下一步链式法则的基础。

复合函数的定义

y = f(g(x))，把 g(x) 的输出当作 f 的输入，整体仍是一个函数

内层与外层

u = g(x) 是内层，y = f(u) 是外层，先求 u 再代入 f 计算

复合后的定义域

需要双重约束：x 属于 g 的定义域，且 g(x) 落在 f 的定义域内

复合函数的分解

从最外层运算入手，逐层向内剥离，直到全部化为基本初等函数

常见复合结构

y = sin(2x+1)、y = ln(x²+1)、y = e^(x³) 至少都含两层

工厂流水线对应 →复合函数

原料经 g 站加工变半成品，再送进 f 站变成品；g 的输出就是 f 的输入

y = f(u),\quad u = g(x) \implies y = f(g(x))

12第 12 页 · 复合函数

链式法则（复合函数求导法

前页我们学会了用四则运算法则求导，能拆解 sin、cos 等单层函数。但很多函数是'函数套函数'——比如 sin(x²) 里把 x² 当作 sin 的输入。这种嵌套光靠四则法则拆不动，需要链式法则接力。

法则陈述

设 y=f(u), u=g(x)，复合函数 y 对 x 的导数 = 外层导数 × 内层导数

变化的链式传递

x 微变 → u 微变 → y 微变；每层按自己的'灵敏度'缩放变化，最终逐层相乘

解题三步走

① 拆层识别外/内函数 ② 从外往内逐层求导 ③ 结果相乘，内层导数保留原变量 x

常见易错点

切勿写 f'(x)·g'(x)；必须把整个 g(x) 代入外层导数，再乘 g'(x)

工厂流水线对应 →复合函数求导

每道工序改变产品状态，总产出对原料的敏感度 = 各工序灵敏度之积

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)

13第 13 页 · 链式法则（复合函数求导法

导数的物理意义

上一页我们看到导数是切线斜率——纯粹的几何图像。但把自变量换成「时间」、函数换成「位移」，斜率就成了熟悉的「速度」。这就是导数的物理意义。

瞬时速度

位移对时间的导数：v(t)=s'(t)，等于平均速度的极限

加速度

速度对时间的导数：a(t)=v'(t)，即二阶导数 d²s/dt²

变化率本质

任何物理量对时间的导数，都是其变化的瞬时快慢

从平均到瞬时

Δs/Δt 取极限的过程，正是用导数定义求速度

汽车速度表指针对应 →瞬时速度

指针定格在某一刻的速度值，就像 s'(t) 在 t 时刻的取值

v(t)=\frac{ds}{dt},\quad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}

14第 14 页 · 导数的物理意义

牛顿法

前面学过导数的几何意义是切线斜率。牛顿法把这个几何直觉变成算法——用切线和 x 轴的交点，反复逼近函数的零点。

核心思路

用当前点的切线近似函数，切线与 x 轴的交点就是零点的近似

迭代公式

x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n)，每步用切线截距更新估计

收敛速度

零点附近近似二次收敛，每步有效数字大约翻倍

前提与边界

要求 f'(x) ≠ 0；初值偏离过远可能发散或收敛到别的根

闭眼下山，凭坡度选方向对应 →牛顿法求零点

脚感=斜率 f'(x)，朝坡度指向的位置迈一步；再站住，再感知

x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

15第 15 页 · 牛顿法

本节要点

✓求导三步走：拆结构、套公式、再化简
✓加减直接做，乘商要警惕：(uv)'≠u'v
✓链式法则：外导乘内导，逐层由外向内剥
✓导数即瞬时变化率：几何看斜率，物理看速度
✓牛顿法：导数零点迭代，收敛阶2极快

延伸主题：隐函数求导参数方程求导高阶导数

16第 16 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再看参考答案；重点不是答案本身，而是思考路径。

1幂函数求导公式 x^n 为什么对非整数次幂（如 x^0.5）也成立？n 次方为什么消失了？

参考答案从定义出发：Δy/Δx 提取公因子后约分，n 次幂因子相消只留下 n，与 n 是否为整数无关。所以公式对实数 n 都成立。

2已知位移 s(t)=t³-6t²+9t，汽车何时停下来？此时速度和加速度分别是多少？

参考答案v(t)=3(t-1)(t-3)，零点在 t=1 和 t=3。t=1 时 a=6>0（反向起步），t=3 时 a=12>0（即将掉头）。两个都是速度反向点。

3求 f(x)=x²sin(x)/x 在 x=0 处的导数时，可以直接套商法吗？为什么？如果不能，你会怎么处理？

参考答案商法要求分母在 x=0 处不为零。直接套用得到 0/0 未定式。正确做法：先化简为 x·sin(x)，再用乘法法则得 f'(0)=0。

17第 17 页 · 课后思考