A4 卷积积分（convolution integral）（不要求）

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卷积积分冲激响应线性系统时域分析

卷积积分：电路对任意信号的响应

搞懂响应为何等于冲激响应的加权平移叠加

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卷积积分冲激响应线性系统时域分析

卷积积分：电路对任意信号的响应

搞懂响应为何等于冲激响应的加权平移叠加

1第 1 页 · 卷积积分：电路对任意信号的响应

为什么要引入卷积积分

上一页我们看到，电路对任意信号的响应都能写成卷积积分。但这公式从哪冒出来？为什么不老老实实列微分方程硬解？这页把两条路摆出来比一比，看看叠加思想凭什么胜出。

直接求解困难

任意输入没有统一形式，无法用经典法凑出特解

线性系统可叠加

满足齐次性+可加性：T{ax₁+bx₂}=aT{x₁}+bT{x₂}

任意信号可分解

拆成不同强度、不同时刻的冲激 δ(t-τ) 的叠加

冲激响应易求

对 δ(t) 的响应 h(t) 用经典法可快速得到

总响应=叠加

每个冲激的响应按时间错位加权累加，自然得到卷积

做菜时各时刻放香料对应 →脉冲响应叠加求总响应

菜的味道 = 各时刻加入的每种香料 × 该香料随时间衰减后的影响，逐项累加

x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau

2第 2 页 · 为什么要引入卷积积分

冲激函数 δ(t) 与冲激响应 h(t)

上页说要把任意信号拆成无数小脉冲再叠加，但「无限窄、无限高、面积却恰好为 1」的尖峰是什么？它又凭什么能代表「一次瞬时敲击」？

δ(t) 的物理直觉

无限窄、无限高，但面积恒为 1，像一根无限细的针瞬间扎一下

筛选性质

能从连续信号中挑出某一时刻的值，是 δ(t) 成为卷积基石的关键

冲激响应 h(t)

系统被 δ(t)「戳一下」之后，自己持续产生的反应

系统的指纹

h(t) 唯一刻画系统全部行为；知道它就等价于知道整个系统

用手指弹一下酒杯对应 →输入冲激 δ(t) 看 h(t)

酒杯形状决定它响起来的样子，不同系统有不同的 h(t)；h(t) 就是这个系统的「音色」

\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-t_0)\,dt = f(t_0)

3第 3 页 · 冲激函数 δ(t) 与冲激响应 h(t)

从叠加原理到卷积的推导

沿箭头读：任意信号分解 → 逐冲激过系统 → 线性叠加 → 卷积公式。虚线引用上一页定义的 h(t)。

图解渲染中…

a3：位移冲激 δ(t-τ)，τ 为出现时刻a5：时不变性使输出也是 h 的平移b1：上一页已定义的冲激响应，作为已知a7：y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτ = f*h

4第 4 页 · 从叠加原理到卷积的推导

卷积积分的数学定义

上一页用叠加原理得到一个积分式——它在 t 时刻把所有「过去 τ 的输入」经由「时间差 t−τ 对应的冲激响应」加权求和。现在把这一步抽成标准数学定义,并看清它独特的对称结构。

定义式

(f∗g)(t)=∫f(τ)g(t−τ)dτ,τ 遍历全部取值得到一个输出

τ 是哑变量

对每一τ取一段 f(τ),配上当下的 g(t−τ),代表该时刻输入对现在的影响

t−τ 表示时间差

过去 τ 的信号经(t−τ)时长后才在 t 显现——负号体现时间反演,来自因果方向

对称结构

f∗g=g∗f,两个函数完全等价,积分本质只是「逐点相乘再对 τ 求和」

两个模板对齐重叠,边滑动边算重合面积对应 →卷积:翻转 + 滑动 + 积分

g(t−τ)中的减号对应翻转;τ遍历对应滑动;各位置重合量相加就是积分

(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau

5第 5 页 · 卷积积分的数学定义

卷积的几何意义：翻转、平移、相乘、积分

上页我们写出卷积公式：把输入 f(t)、冲激响应 h(t) 都换成 τ 的函数再相乘积分。但 h(t-τ) 画出来什么样？这页用图拆成四步：翻转、平移、相乘、积分，每步都有清晰几何意义。

翻转 (flip)

把 h(τ) 关于 τ=0 镜像翻转，得到 h(-τ)

平移 (shift)

沿 τ 轴滑到 t，得到 h(t-τ)；t 越大，平移越远

相乘 (multiply)

逐点乘以 f(τ)，得到乘积函数 f(τ)·h(t-τ)

积分 (integrate)

对乘积沿 τ 轴求面积，结果就是 t 时刻的输出 y(t)

印章沿纸面滑动对应 →h(τ)翻转后在 f(τ) 上滑动

印章每到一处覆盖纸面的面积 = f(τ)·h(t-τ) 的积分 = 此刻的 y(t)

y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau

6第 6 页 · 卷积的几何意义：翻转、平移、相乘、积分

卷积运算的几何图解

沿流程读：原信号经翻转、平移、相乘、积分四步，每滑动一次 t 得到 y(t) 一个值。

图解渲染中…

A1：原始输入信号 f(τ)，被操作对象D1：翻转+平移后的波形与 f(τ) 重叠相乘E1：重叠区域下方的面积即 y(t) 在此刻的值

7第 7 页 · 卷积运算的几何图解

图解法五步骤

卷积图解法把抽象积分拆成五步，每步都对应一张图。

画 f(τ)

把 f 的横轴换成 τ，先画出来作为底图

画 g(τ)

把 g 的横轴也换成 τ，在同一坐标系画好

翻转 g

把 g(τ) 关于纵轴对称翻折，得到 g(-τ)

平移

沿 τ 轴滑动 g(-τ)，得 g(t-τ)，t 即滑动量

分段积分

按 g(t-τ) 与 f(τ) 的重叠区间分段，相乘积分求卷积值

8第 8 页 · 图解法五步骤

图解法实例：矩形波卷积

两个等宽矩形脉冲做卷积，几何上等价于求重叠面积；面积随平移 t 线性变化，连起来就是三角波。

图解渲染中…

A：第一个矩形脉冲 f(τ)，宽度为 1B：第二个矩形脉冲 g(τ)，宽度也为 1E2：两矩形完全对齐，重叠面积达到峰值F：卷积结果 y(t)：三角波

9第 9 页 · 图解法实例：矩形波卷积

解析法：利用函数性质分段积分

解析法三步走：定区间、分段、积分——不用画图也能算卷积。

确定非零区间

分别找出 f(τ) 和 h(t-τ) 非零的 τ 范围，积分上下限由此决定

划分 t 的区间

依据两区间重叠位置，把 t 切成若干段，每段内被积函数形式不变

逐段积分求 y(t)

在每段内写出确定的 f(τ)·h(t-τ)，分别积分后拼成完整结果

10第 10 页 · 解析法：利用函数性质分段积分

数值卷积的计算实现

python

用 Python 把上一页的几何过程变成可执行代码：翻转 → 平移 → 相乘 → 求和。

代码高亮加载中…

L6 把 h 翻转，L10 让翻转后的 h 随 n 整体平移，L12 把 x 的每一项与平移后的 h 对齐，L15 完成相乘与累加——这就是离散卷积的全部秘密。

11第 11 页 · 数值卷积的计算实现

图解法 vs 解析法：何时用哪个

两种卷积求解思路，思路与精度完全不同。

图解法

翻转→平移→相乘→积分，步步画图
简单波形，如矩形、三角
直观，能看清每时刻的重叠量
波形复杂时画图繁琐，难精确

解析法

列积分式，利用函数性质分段计算
可用闭式表达的信号
精确，得到闭式结果便于分析
需知道函数表达式，复杂信号算不动

理解卷积用图解法，求精确结果用解析法；复杂信号则上数值法。

12第 12 页 · 图解法 vs 解析法：何时用哪个

RC电路的冲激响应

冲激响应 h(t) 是系统指纹，但对哪个系统求？落到最经典的 RC 电路上：把 δ(t) 当输入，亲手解微分方程推出那个大名鼎鼎的 h(t)。

RC 电路方程

KVL 得 RC·dvc/dt + vc = vs；当 vs=δ(t) 时变成求解一阶线性 ODE

0 时刻电压跳变

冲激瞬间 vc 从 0 跳到 1/(RC)：把方程从 0- 积到 0+，δ 贡献是 1，其他项为零

t>0 指数衰减

跳变后 vs=0，按初值 1/(RC) 解齐次方程，vc 按时间常数 τ=RC 衰减

冲激响应完整式

h(t) = (1/RC)e^{-t/RC}u(t)：加上单位阶跃 u(t) 体现因果性

用力拍一下静止水面对应 →冲激激励下的 RC 电路

瞬间冲量让水面跳起，再按固有阻尼慢慢平息——h(t) 就是这个'跳起-衰减'的形状

RC\frac{dv_c}{dt}+v_c=\delta(t)\;\Rightarrow\;h(t)=\frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t)

13第 13 页 · RC电路的冲激响应

RL电路的冲激响应

单位冲激激励下的电感电流响应：h(t)=(R/L)e^{-Rt/L}u(t)

RL电路的冲激响应

单位冲激激励下的电感电流响应：h(t)=(R/L)e^{-Rt/L}u(t)

14第 14 页 · RL电路的冲激响应

电路中的卷积应用：求零状态响应

输入与电路抽象出的冲激响应做卷积，得到零状态响应。

图解渲染中…

a3：h(t) 由电路 R、L、C 决定，反映电路本身的'指纹'a4：x(t)*h(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ，逐时刻加权求和a5：零状态响应：初始储能为零时，仅由输入引起的响应

15第 15 页 · 电路中的卷积应用：求零状态响应

实例：RC电路对指数信号的响应

用RC电路响应 e^(-at)u(t) 这个具体例子，把卷积的求响应流程完整走一遍。

求冲激响应 h(t)

RC 电路标准结果 h(t)=(1/RC)e^(-t/RC)u(t)，作为卷积核

列卷积积分式

把 x(t)=e^(-at)u(t) 与 h(t) 代入，积分限取 0 到 t

指数项合并积分

合并两指数项后逐项积分，得 y(t)=[e^(-at)-e^(-t/RC)]/(1-aRC)

代回微分方程验证

将 y(t) 代入 RC·y'+y=x(t)，核对两端恒等成立

处理重根情形

此时分母为零，需用洛必达或重根微分方程单独求解

16第 16 页 · 实例：RC电路对指数信号的响应

卷积计算能力检验

点击作答

已知 f(t)=u(t)-u(t-1)、h(t)=u(t)-u(t-2)，用图解法求 y(t)=f*h。t 从 0 增大时，y(t) 波形是？

17第 17 页 · 卷积计算能力检验

卷积的三条代数性质

还记得小学背的乘法交换律 a×b=b×a 吗？卷积作为 LTI 系统的'乘法'运算，也严格遵守交换律、结合律、分配律——并且每条都有明确的物理含义。

交换律

f*g = g*f。物理上：两子系统级联，顺序对调不影响总响应

结合律

(f*g)*h = f*(g*h)：多级级联可任意分组，总响应相同

分配律

f*(g+h) = f*g + f*h：输入叠加或并联子系统响应可分别求再叠加

普通乘法 a×b 的运算规则对应 →卷积的三条代数性质

卷积是 LTI 系统的'乘法'，故三条性质与小学乘法规则一一对应

f*g=g*f,\quad (f*g)*h=f*(g*h),\quad f*(g+h)=f*g+f*h

18第 18 页 · 卷积的三条代数性质

与奇异函数的卷积

上页学了卷积的三条代数性质。现在拿出两位'特殊的队友'——冲激 δ(t) 和阶跃 u(t)，看它们跟任意信号卷积后会产生什么效果。

δ(t) 是卷积单位元

f(t)*δ(t)=f(t)，信号原样输出，δ(t) 在卷积下相当于'1'

δ(t−t₀) 平移信号

f(t)*δ(t−t₀)=f(t−t₀)，延迟 δ 把整个信号搬到 t₀ 位置

u(t) 充当积分器

f(t)*u(t)=∫_{-∞}^{t}f(τ)dτ，卷 u 等于从负无穷到 t 累积积分

冲激响应→阶跃响应

已知 h(t)，由 s(t)=h(t)*u(t)=∫h(τ)dτ 直接得到阶跃响应

乘法里的数字 1对应 →δ(t) 在卷积中的地位

任何数乘 1 还是它本身；任何信号卷 δ 也还是它本身

f(t)*\delta(t)=f(t),\quad f(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau

19第 19 页 · 与奇异函数的卷积

卷积积分知识回顾

✓冲激响应 h(t) 是 LTI 系统的指纹，y=x*h 给出任意零状态响应
✓分解→加权→叠加：卷积即叠加原理在连续信号下的完整实现
✓图解直观、解析精确、数值可编程，按场景与精度要求选用
✓δ(t) 是卷积单位元：x(t)*δ(t-t₀)=x(t-t₀)，可平移任意信号
✓卷积仅对 LTI 系统成立；非线性或时变系统不能直接套用

延伸主题：拉普拉斯变换与卷积系统辨识：实验测 h(t)二维卷积与图像处理

20第 20 页 · 卷积积分知识回顾

课后思考

先遮住参考答案，给自己 3 分钟想一想，再对照思路查漏补缺。

1为什么卷积要先翻转再平移，而不是直接平移？翻转这一步在数学和物理上各代表什么含义？

参考答案翻转来自数学上的对称性：积分形式 x(τ)h(t-τ) 实际是两个函数的内积。物理上意味着把过去的激励与系统当前的记忆对齐相乘再积分。

2如果你只测得一个 RC 电路的冲激响应 h(t)，面对一段未知形状的音乐信号，你会如何一步步求出电路的输出？

参考答案把输入 x(t) 切成无数窄脉冲，每段脉冲用对应的 h(t) 缩放并按时间平移，再把所有响应叠加——也就是直接套 y(t)=x(t)*h(t)。

3卷积积分的前提是系统线性时不变。如果电路里加了二极管（非线性元件），还能直接用卷积求响应吗？为什么？

参考答案不能。卷积依赖叠加性和齐次性，非线性系统不满足。一旦加入二极管，整条卷积链路失效，只能分段线性近似或用 Volterra 级数等其他方法。

21第 21 页 · 课后思考