万有引力定律

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经典力学天体物理推导过程适用边界

万有引力定律

从开普勒定律到 F=GMm/r²：搞懂推导、物理意义与适用边界

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经典力学天体物理推导过程适用边界

万有引力定律

从开普勒定律到 F=GMm/r²：搞懂推导、物理意义与适用边界

1第 1 页 · 万有引力定律

苹果落地与月亮高悬

牛顿坐在苹果树下，看到果子砸向地面。抬头望月，它却没掉下来。一个朴素的问题就此诞生：拽苹果的力，跟拉住月亮的力，是同一回事吗？

苹果落地
地球把树上的苹果直直拽下来——这是每个人从小看到大的日常
月亮高悬
月亮没有砸向地球，而是绕着地球画圆——它好像不受这股力
月亮也在下落
月亮其实一直在朝地球方向「坠落」，只是切向速度让它每一秒都错过地面
同一把力
拽苹果的力和拽月亮的力本质相同，只是距离不同导致大小悬殊——这才是「万有」
用力扔石头对应 →月亮绕地球转圈

扔得越快落点越远；再快一些，地面弧度让开，石头就成了永不落地的卫星

2第 2 页 · 苹果落地与月亮高悬

引力认知的历史脉络

从亚里士多德到牛顿，看引力认知如何一步步突破。

图解渲染中…
a1：二元宇宙：地上落向地心，天上绕以太运动a4：椭圆轨道、等面积、周期与半径的2/3次方关系
3第 3 页 · 引力认知的历史脉络

什么是向心力

上一页我们知道，月亮绕地球做近似圆周运动是因为地球对它的引力。但月亮并没有被「拉下来」——它一直在空中转圈。这说明：让物体走圆圈的力，是一种始终「朝向圆心」的力。

按效果命名
向心力不是某种「新的力」，而是看一个力在圆周运动中扮演什么角色
指向圆心
无论物体在圆周的哪一处，方向始终从物体指向圆心
由真实力提供
这个角色可由重力、绳的拉力、摩擦力等任意真实力来扮演
月亮靠的是引力
月亮绕地球转时，地球对它的万有引力就是向心力
绳子拴着小球甩圈对应 →向心力

绳子拉力始终沿绳指向手（圆心），拉住球不让它沿切线飞走

4第 4 页 · 什么是向心力

向心力公式推导

抓住'方向时刻在变'这一要害，三步推出 a=v²/r 与 F=mv²/r。

1
设定匀速圆周
物体以恒定速率 v 沿半径 r 的圆周运动，速度方向始终沿切线
2
速度矢量在变
速率不变但方向时刻在变，速度矢量必变，加速度指向圆心
3
几何相似求 a
Δt 内 |Δv|/v = s/r，结合 s/Δt = v，得 a = v²/r
4
牛顿第二定律
由 F = ma，向心力大小 F = mv²/r，方向指向圆心
5第 5 页 · 向心力公式推导

向心力与匀速圆周运动

上一页用线速度 v 推导出 F = mv²/r。但描述同一圈旋转，还能用角速度 ω 和周期 T 这两套'语言'。换一套语言描述，向心力公式会变成什么样？

线速度 v
单位时间走过的弧长，v = 2πr/T，半径越大线速度越大
角速度 ω
单位时间转过的角度，ω = 2π/T，与半径无关
周期 T
转一整圈所用时间，同一转盘上所有点 T 相同
向心力三形式
F = mv²/r = mω²r = m(4π²r/T²)，三种语言描述同一物理量
旋转木马对应 →线速度与角速度的区别

外圈马跑弧长更长 → 线速度大；所有马转过角度一样 → 角速度相同

v=ωrF=mv2r=mω2r=m4π2rT2v = \omega r \quad F = \dfrac{mv^2}{r} = m\omega^2 r = m\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}
6第 6 页 · 向心力与匀速圆周运动

开普勒三定律概述

上页讲了匀速圆周运动，默认轨道是完美的圆。但真实行星并非如此——十七世纪初，开普勒用第谷数十年精确观测，归纳出行星运动的三大经验定律，成为牛顿推导万有引力的实证基石。

椭圆轨道
行星绕日轨道是椭圆，太阳位于一个焦点上，而非几何圆心
等面积
行星与太阳连线在相等时间内扫过面积相等，近日点快、远日点慢
调和定律
公转周期平方与半长轴立方成正比，K值只与中心天体质量有关
被拉偏的圆对应 →椭圆轨道

圆是两焦点重合的特例；行星不在中心，而偏在焦点上

T2=4π2GM a3T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, a^3
7第 7 页 · 开普勒三定律概述

开普勒第一定律：椭圆轨道

从定律核心向下展开：先确立椭圆本质，再揭示太阳焦点位置与近日远日两极值。

图解渲染中…
a6：虚焦点：仅几何定义，无天体占据a4：椭圆两个焦点，太阳只占其中一个
8第 8 页 · 开普勒第一定律：椭圆轨道

开普勒第二定律：面积速度

因果链：太阳在焦点→有心力→力矩为零→角动量守恒→面积速度恒定。

图解渲染中…
t1：τ = r×F；r 与 F 共线，τ 恒为 0l1：L = m·r×v，方向与大小都守恒a1：面积速度 dA/dt = L/(2m)，是守恒量p1：L 不变，r↓ 时 v 必须↑ 以维持 m·r·v
9第 9 页 · 开普勒第二定律：面积速度

开普勒第三定律：周期定律

前两定律给出了轨道的形状与速度变化，第三定律要回答更直接的问题：行星离太阳越远，公转周期会被拉长多少？答案是存在一个精确的数学比例。

周期定律陈述
公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比：T² ∝ a³
由万有引力推出
圆轨道下引力提供向心力，可反推出 T²/a³ = 4π²/(GM)
常数只取决于中心天体
同一中心天体下所有轨道共享同一常数；不同中心天体的常数不同
适用边界
严格成立需中心天体质量远大于环绕体；卫星绕行星同样适用
地球 1 年 vs 木星 11.86 年对应 →T²/a³ = 常数的实测验证

木星半长轴约为地球 5.2 倍，5.2³≈140，11.86²≈141，几乎一致

T2=4π2GM a3T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,a^{3}
10第 10 页 · 开普勒第三定律：周期定律

牛顿的推理：从行星到苹果

一个苹果从树上落到地面，三十八万公里外的月亮却始终悬在空中——这两件事看似毫不相关。牛顿的伟大之处在于：把它们联系了起来。

苹果的处境
在地面附近下落，加速度 g ≈ 9.8 m/s²，方向指向地心
月亮的处境
距地心约 60 个地球半径，做圆周运动需要指向地心的向心力
关键推理
若引力按 1/r² 衰减，月亮处加速度应为 g/60² = g/3600
数据吻合
月亮实际向心加速度恰好约为 g/3600，假设得到验证
伟大结论
拉苹果与拉月亮的是同一种力——万有引力
同一块磁铁吸引远近不同的铁屑对应 →地球同时吸引苹果和月亮

同一个源、同一种力，大小随距离衰减，但本质相同

a月亮  =  g602  ≈  2.7×10−3 m/s2a_{\text{月亮}} \;=\; \frac{g}{60^{2}} \;\approx\; 2.7 \times 10^{-3}\ \text{m/s}^{2}
11第 11 页 · 牛顿的推理：从行星到苹果

从开普勒第三定律推导引力公式

联立开普勒第三定律与向心力公式，把行星周期T消去，推出引力的平方反比律。

1
设定圆轨道
近似认为行星做半径R的匀速圆周运动，速度v=2πR/T
2
向心力公式
太阳对行星的引力即向心力：F = 4π²mR/T²
3
代入第三定律
由T²=kR³消去T，得F = 4π²m/(kR²)，即F∝m/R²
4
对称性论证
牛顿第三定律要求F对M也成正比，故F∝Mm/R²
5
得出万有引力
比例系数命名为G：F = GMm/R²，G须独立测量
12第 12 页 · 从开普勒第三定律推导引力公式

万有引力定律的表述

上一节我们从开普勒第三定律推出F∝m/r²，但那只针对行星绕太阳。牛顿的飞跃在于：把这一关系推广为一条普遍定律——任何两个物体之间都存在这种引力。现在我们把它精确、完整地写出来。

万有性：任意两物体
任何有质量的物体之间都有引力，与材质、温度、状态无关
沿连线相互吸引
力的方向在两物体连线上，方向相反，是吸引力
大小：正比于质量乘积
引力等于G乘以两物体质量乘积，再除以距离的平方
G是普适常量
G≈6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，数值与物体种类无关
适用边界
r指质点间距；均匀球体也适用，r取球心距离
库仑定律 F=kq₁q₂/r²对应 →万有引力定律 F=Gm₁m₂/r²

数学结构完全同构，质量像'引力电荷'；区别是库仑力有吸有斥，引力只吸

F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}
13第 13 页 · 万有引力定律的表述

万有引力公式的物理意义

公式 F=Gm₁m₂/r² 拆成四块：常量、质量乘积、质心距、方向。

图解渲染中…
root：完整公式，描述两物体间引力大小a3：r 取质心距；均匀球体按两球心之间算a4：力是矢量，方向沿两物体连线，指向对方
14第 14 页 · 万有引力公式的物理意义

引力常量G的意义

上一节我们读懂了F=GMm/r²的物理含义。但公式里的G，不像π或e能从数学推出，也不像光速c那样来自对称性原理——它只能靠实验测量，而且小得不可思议。

理论只给出「形状」
牛顿定律告诉我们F∝Mm/r²，但比例系数G无法从理论推出
G必须靠实验测定
1798年卡文迪许用扭秤首次测出G；至今仍是精度最差的基本常数之一
G的数值与单位
G≈6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²；微小反映引力是四种基本力中最弱者
G是普适常数
任何地点、时间、物质中都相同；这是广义相对论把引力几何化的起点
地图比例尺对应 →引力常量G

地图画形状，比例尺定大小；公式给平方反比形状，G定实际力大小

G≈6.674×10−11 N⋅m2/kg2G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2
15第 15 页 · 引力常量G的意义

卡文迪许扭秤实验

从万有引力到刻度读数——看微弱信号如何被两级放大。

图解渲染中…
a1：大铅球M与小球m相距很近,引力极微弱a3：细金属扭丝,对微力高度敏感a5：光杠杆放大:角度θ变2Lθ线位移
16第 16 页 · 卡文迪许扭秤实验

不同天体的引力计算

最易错的是把地面重力、卫星轨道和行星轨道套成同一距离；中心天体与半径起算点一变，计算模型也会变。

地表尺度
  • 对象：地球表面附近物体
  • 距离 r≈地球半径 R⊕
  • 引力：F=GM地m/r²
  • 可用 g=GM地/R⊕² 求重力
轨道尺度
  • 对象：卫星、行星或太阳
  • r 为到中心天体质心的距离
  • 引力：F=GM中心m/r²
  • 圆轨道时 F=mv²/r
地面问题用地球半径近似；卫星或行星绕转时必须用轨道半径，并把引力视为向心力。太阳系尺度优先用轨道模型。
17第 17 页 · 不同天体的引力计算

重力与万有引力的关系

上一页提到，人随地球自转需要向心力。这个力从哪变出来？答案就藏在万有引力里——它必须同时干两件事。

引力的分解
地球对物体的万有引力，可沿两个方向分解为不同分量
重力是分量之一
竖直向下的分量即重力，另一分量提供随地球自转的向心力
随纬度变化
赤道处圆周运动最快，向心力需求最大，重力最小；两极处向心力为零，重力最大
随高度变化
海拔越高，万有引力按 1/r² 减小，重力也随之减小
工资扣社保对应 →万有引力分解

总工资是万有引力；强制扣的社保是维持自转的向心力；到手工资就是脚下称出的重力

F万有=F向心+F重（矢量合成）F_万有 = F_向心 + F_重\quad（矢量合成）
18第 18 页 · 重力与万有引力的关系

计算地球质量

利用地表重力加速度与万有引力公式，从已知量推算地球质量。

1
确定地表g值
通过自由落体或单摆实验测得 g ≈ 9.8 m/s²
2
地表物体受力分析
质量为m的物体所受重力 F = mg
3
用万有引力表达同一力
地球对同一物体的引力 F = GMm/R²，R为地球半径
4
联立两式消去m
mg = GMm/R²，两侧约去m得 g = GM/R²
5
解出M并代入数值
M = gR²/G ≈ 5.97×10²⁴ kg
19第 19 页 · 计算地球质量

宇宙航行中的引力应用

上一节算出了第一宇宙速度的雏形。但工程师真正发射卫星时,要在哪个速度"松手"?变轨怎么操作?逃逸速度为什么是第一宇宙速度的√2倍?这一节把公式用在真任务里。

第一宇宙速度
万有引力正好充当向心力时,卫星做匀速圆周运动的速度,约7.9 km/s
第二宇宙速度
完全脱离地球引力的最小速度,约11.2 km/s,恰是第一宇宙速度的√2倍
霍曼转移
两共面圆轨道之间,用两次切向加速实现最低能耗的变轨
第三宇宙速度
从地球出发、摆脱太阳引力飞向系外的最小速度,约16.7 km/s
山顶水平扔石头对应 →卫星发射

石头越扔越快、落点越远;够快时"落"回脚下,就成了卫星

v1=gR≈7.9 km/s,  v2=2gR≈11.2 km/s,  v2=2 v1v_1 = \sqrt{gR} \approx 7.9\text{ km/s},\; v_2 = \sqrt{2gR} \approx 11.2\text{ km/s},\; v_2 = \sqrt{2}\,v_1
20第 20 页 · 宇宙航行中的引力应用

核心概念自测

点击作答

从开普勒第三定律 T²∝r³ 推出引力 F∝1/r² 的推导中，必须借助的物理工具是？

21第 21 页 · 核心概念自测

知识要点回顾

  • ✓天上地下同一种力——牛顿的最大洞见
  • ✓从开普勒定律反推万有引力是物理学典范
  • ✓G 极小却普适，标定了引力的强度
  • ✓利用万有引力可称量天体质量
  • ✓牛顿引力在强场/高速下需相对论修正
延伸主题：引力势能与宇宙速度潮汐力与洛希极限广义相对论与引力本质
22第 22 页 · 知识要点回顾

课后思考

三个问题分别回扣核心、应用与边界。先独立思考，再对照参考答案——重要的不是答案本身，是你的推理路径。

1万有引力公式中，力与距离的平方成反比。如果指数换成 1 或 3，行星还能在闭合轨道上稳定运行吗？

参考答案由开普勒第三定律 T²∝r³ 反推可得 F∝1/r²。平方反比是产生稳定闭合椭圆轨道的唯一指数——换成其他值，轨道会螺旋敞开或撞向中心。

2赤道上一根弹簧秤称出 1 公斤的物体，搬到北极再称，数值会变吗？变大还是变小？为什么？

参考答案地球自转要求一部分万有引力充当向心力，剩下才是"重力"。赤道线速度最大，分走的向心力最多，所以赤道物体重力略小于极地。

3爱因斯坦用"时空弯曲"取代了牛顿的"超距引力"。在什么条件下牛顿引力定律会失效？

参考答案当引力极强（如黑洞附近）或涉及光速尺度的精密测量时，牛顿定律失效。广义相对论把引力解释为时空曲率，水星近日点进动是经典验证。

23第 23 页 · 课后思考