数学大学
直角坐标系下的三重积分
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
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数学大学
直角坐标系下的三重积分
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
箱型区域上的三重积分
长方体区域上的三重积分：三个变量依次积分，次序自由。
三重累次
∫∫∫f dxdydz 依次对三个变量积分
次序任意
箱型域上六种次序结果一致
非箱型区域上的三重积分
一般区域用「投影 + 穿线」定限：先一后二或先二后一。
先一后二
沿 z 穿区域，上下曲面定内层限
先二后一
先算水平截面二重积分，再沿 z 积分
三重积分计算举例
对称性与被积函数的奇偶性可大幅简化三重积分。
奇偶对称
区域对称且函数奇对称时积分为零
轮换对称
变量地位相同时可互换简化
本节要点
- ✓箱型域六种次序随意
- ✓一般域：投影穿线或截面法
- ✓奇偶对称性能省一半工作量
延伸主题：用穿线法算一个三重积分用截面法算一个旋转体
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1「先一后二」与「先二后一」各适合什么情形？
参考答案先一后二适合上下边界曲面明确、竖直穿线简单的区域；先二后一适合水平截面形状规则、被积函数只含 z（或截面易算）的情形，如旋转体。看区域与函数谁更配合。
2奇偶对称性简化积分的条件为什么必须两条同时满足？
参考答案区域对称保证正负部分「位置对应」，函数奇偶保证其值「正负相消」。只有区域对称而函数不对称时相消不成立，缺一不可——这是误用对称性的高发点。
3为什么先画区域图是计算二重三重积分的第一步？
参考答案积分限的全部信息都藏在区域几何里：投影形状决定外层限，穿线出入点决定内层限。不画图就定限，几乎必然出错。图是定限的根据，也是选坐标系的依据。