数学大学
二阶线性常系数微分方程
微积分 · 第八章 常微分方程
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二阶线性常系数微分方程
微积分 · 第八章 常微分方程
二阶线性常系数微分方程(1
齐次方程 y″+py′+qy=0：写特征方程 r²+pr+q=0，按根的形式写通解。
特征方程
把 y″、y′、y 依次换成 r²、r、1
两不等实根
通解 y=C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x}
二阶线性常系数微分方程(2
重根与共轭复根的通解形式：根的情形决定解的形状。
二重根
y=(C₁+C₂x)e^{rx}，多出一个 x 因子
共轭复根
r=α±βi 时 y=e^{αx}(C₁cos βx+C₂sin βx)
二阶线性常系数微分方程(3
非齐次方程 = 齐次通解 + 特解：特解按右端类型待定求解。
待定系数法
右端为多项式、指数、正弦时按形设特解
重叠修正
特解形式与齐次解重合时乘 x 升级
本节要点
- ✓特征方程是解齐次方程的钥匙
- ✓三种根形对应三种通解
- ✓非齐次 = 齐次通解 + 特解
延伸主题：解两道完整非齐次方程总结待定系数的设形表
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么二阶方程只需要两个独立常数？
参考答案方程阶数为二，通解的自由度就是二：初条件恰好给定 y 与 y′ 两个初始值，正好确定两个常数。n 阶方程同理有 n 个独立常数。
2重根时为什么要额外乘一个 x？
参考答案重根只提供一个独立解 e^{rx}，还缺一个与它线性无关的解；可以验证 x·e^{rx} 也满足方程。乘 x 正是补足第二个独立解的标准手法。
3待定系数法设特解形式时为什么可能与齐次解「撞车」？
参考答案当右端函数本身是齐次解时，按常规形状设的特解代入会恒为零、定不出系数。规则是乘 x 升级一次再设，撞几次乘几个 x。