数学大学
连续分析原理
动态测试与分析（下） · 第5章 连续分析原理
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连续分析原理
动态测试与分析（下） · 第5章 连续分析原理
连续分析原理（1）
连续信号的分析原理：把信号分解为无穷多频率成分的连续分布。
分解思想
非周期信号按连续频率展开
工具
傅里叶变换给出频谱密度函数
连续分析原理（2）
频谱密度回答「每个频率上分到多少」：密度概念区别于离散谱线。
密度含义
单位频率内的谱含量，不是谱线高度
与谱线之别
非周期信号能量铺开，只能谈密度
常见信号的频谱密度函数
几个必备原型：矩形出正弦比，单边指数出洛伦兹形，冲激出平谱。
矩形脉冲
谱为正弦比函数
单边指数
谱为 1/(a+jω) 型衰减函数
冲激
δ 的谱是均匀平谱
余弦信号的频谱密度函数（
无限长余弦的谱密度是两根频域冲激：正负频率各一根。
双冲激
±f₀ 处两根强度为半幅值的冲激
无限长前提
只有理想无限长余弦才有纯谱线
余弦信号的频谱密度函数（
有限长余弦的谱密度：两根冲激被窗谱抹开成主瓣结构。
截断效果
加窗使冲激与窗谱卷积展宽
峰位不变
主瓣峰仍对准余弦频率处
频谱密度函数的性质（1）
线性与奇偶对称：实信号的幅值谱偶对称，相位谱奇对称。
线性
叠加信号的谱密度逐项叠加
共轭对称
实信号的谱满足共轭对称
频谱密度函数的性质（2）
时移与频移：一个改相位，一个平移整条谱。
时移
时域平移对应谱乘复指数
频移
乘余弦调制对应谱左右搬移
频谱密度函数的性质（3）
卷积定理与微分积分：时域卷积对应频域相乘，微积分对应乘除频率因子。
卷积定理
时域卷积 = 频域乘积
微积分
求导乘 jω，积分除 jω
窗函数的频谱密度函数
窗的谱密度决定截断的频域代价：分析窗谱就是分析泄漏形状。
窗谱角色
窗谱形状决定泄漏的分布方式
选窗依据
按主瓣与旁瓣需求挑窗
矩形窗窗谱密度函数
矩形窗谱密度 = 正弦比函数：主瓣最窄、旁瓣最高。
表达式
T·sinc(πfT) 加相位因子
极值
零点间隔 1/T，分辨率最好
余弦窗窗谱密度函数
余弦窗谱密度 = 三条移位正弦比的加权和：旁瓣低一档。
三项结构
中心与两侧移位项叠加
旁瓣抑制
移位项相消使旁瓣大幅降低
本节要点
- ✓非周期信号用谱密度描述
- ✓矩形→正弦比，余弦→三项和
- ✓性质：线性、时移、卷积定理
- ✓卷积定理是滤波的数学地基
延伸主题：推导矩形窗谱密度用卷积定理解一次滤波
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1「谱密度」与「谱线」的本质区别是什么？
参考答案周期信号能量集中在离散频率，每根谱线有确定的幅值；非周期信号能量铺在连续频段，单个频率点上的能量趋于零，只能谈单位频率内的密度。周期性决定离散，非周期性决定密度。
2卷积定理为什么是滤波的数学地基？
参考答案滤波器对信号的作用在时域是卷积，直接计算量大且不直观；卷积定理把它变成频域的一次乘积——想保留哪些频率就把对应频段乘一、抑制的乘零，思路直观、实现高效。
3为什么余弦信号的谱密度会随截断长度变化？
参考答案无限长余弦能量纯集于一点，谱为两根冲激；有限长截断使能量按窗谱散开，主瓣宽度约与窗长成反比。观察时间越短，频率就越「看不准」。