上一页我们见到了 y = A sin(ωx + φ)。但为什么弹簧的来回和交流电的起伏，最后都长成这个形状？因为它们背后是同一种运动。

上一页我们看见了钟摆、风扇这些生活中的周期运动。但一条光滑的正弦曲线，本质上从哪来？答案就藏在一个最简单的运动里——单位圆上的匀速旋转。

上一页里，正弦曲线来自匀速圆周运动的竖直投影。圆的半径决定了投影来回摆动的范围——这个半径，就是振幅 A。

振幅 A 回答「摆多大」，那「摆多快」由谁说了算？这就要请出角频率 ω。

上节 ω 决定了摆动的快慢，但还有一个问题：当你按下秒表那一刻，摆已经走到了哪里？这个'差多少'就是初相 φ 要回答的。

看 A>1 时，y=sin(x) 的每个点如何被纵向拉伸。

从 sin x 出发，看 |A| 在不同区间如何改造波形

前面看过 A > 1 把波拉高、0 < |A| < 1 把波压扁。可一旦 A 取负数，图像会发生一次戏剧性的翻转——山峰变山谷，山谷变山峰。

从 |ω|>1 出发，箭头即因果：T=2π/|ω| 缩短 → 横向压缩

沿箭头方向读：先看条件 |ω|<1，再到周期公式、T 变大、波形拉宽、往复变慢。虚线是数值例证。

上页我们让 |ω| 在 0 到 1 之间伸缩，那只是横向的压扁或拉长。今天换一面：ω 的正负号。它不改幅度也不改周期，但会让图象相对原版左右互换。

顺着箭头读：从原函数零点出发，加 φ 后解方程，符号决定方向。

顺箭头读：从原波到右移后的新波，关键是看零点从 x=0 跑到哪儿。

按“平移、横向伸缩、纵向伸缩”的顺序，把标准正弦曲线改造成一般形式。

为何先平移再伸缩与先伸缩再平移不同

上一页把「圆周运动」和「正弦曲线」画了等号。这页要解释等号为什么成立——圆上匀速运动的点，它的坐标究竟怎么就成了三角函数。

左右两列一一对应：左边是圆周运动的物理量，右边是正弦函数的三个参数。

弹簧振子的位移满足 x(t) = 4sin(2t + π/6) cm（t 单位：秒）。t = 0 时，振子距平衡位置多远？

上页我们知道了 A 代表离开平衡位置的最大距离。如果图象已经画好，怎么把这个数值「读」出来？

上页我们从图上读出了振幅 A——最高点离 x 轴多远。这次反过来，读周期 T：相邻两个峰之间的水平距离。

上页从图象读出了 T 进而算出 ω，最后一步是 φ。φ 控制「起点」，但它在图象上没有刻度直接写出来——要把图象和 y = sin x 叠在一起，找一处两者「对得上」的关键位置，才能把 φ 反推出来。

• ✓A、ω、φ几何作用域正交，三者在变换上互不串扰
• ✓ω先φ后与φ先ω后，落到不同位置——顺序敏感
• ✓φ对应的平移量需用|φ|/ω，不能直接当|φ|用
• ✓从图反参数：最值定A，周期定ω，过零定φ
• ✓A负上下翻转，ω负左右翻转，三符号都进入图象

先独立思考每问，再对照参考答案——重点体会思路，不必死记结论。