有理数的乘方

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✦ 有理数的乘方数学有理数的乘方幂

有理数运算指数与幂几何直观运算律

有理数的乘方

从面积体积到指数律，彻底搞懂幂的运算本质

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有理数运算指数与幂几何直观运算律

有理数的乘方

从面积体积到指数律，彻底搞懂幂的运算本质

1第 1 页 · 有理数的乘方

四舍五入法

上一页的乘方里，(-2)³ = -8 干净利落。但 ∛2 = 1.2599210... 这类无限不循环的小数，结果该取到哪一位？这就要请出「四舍五入法」来定规矩。

定义

在指定位数处保留，看其后紧邻的那一位决定取舍

规则

该位 ≥5 则向前进 1；<5 则直接舍去，位数不变

乘方中的应用

乘方结果为无限不循环小数时，按精度要求取近似值

易错提醒

连续多次四舍五入会累积误差，重要中间值多保留几位

用最小刻度 1mm 的尺子量长度对应 →四舍五入取近似值

尺子的最小刻度=保留位数，物体真实长度=精确值，刻度间估读=看下一位决定进位还是舍去

2第 2 页 · 四舍五入法

乘方

你已经会算 2×2、2×2×2，那再乘一个 2 呢？当同一个数自己反复相乘，就进入了「乘方」的世界——它把乘法升级成了一种描述「翻倍与增长」的简洁语言。

乘方的定义

n 个相同因数 a 相乘，记作 aⁿ，a 叫底数，n 叫指数

底数与指数

底数决定乘什么，指数决定乘几次；位置不同，角色不同

特殊情形

a⁰=1（任何非零数的零次幂为 1），a¹=a

典型应用

科学计数法、复利增长、面积体积、细胞分裂等指数型场景

把一张纸反复对折对应 →2 的乘方增长

对折 1 次=2 层，2 次=4 层，3 次=8 层；次数每加 1，结果翻一倍

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ 个 } a}

3第 3 页 · 乘方

幂

上页我们做了乘方这个动作——把相同因数连乘几次。动作做完会留下'结果'：比如边长 a 的正方形面积 a·a，我们简记为 a²，这正是'幂'。

幂的定义

aⁿ 表示 n 个相同因数 a 相乘的结果，读作'a 的 n 次幂'

三个角色

底数 a 是被乘的数，指数 n 是相乘的次数，整体 aⁿ 才是幂

动作 vs 结果

乘方是'怎么算'，幂是'算出来什么'，和上页的乘方要区分开

指数可推广

n 不限正整数，0、负数、分数都能作指数，幂的含义由此扩展

乘法 → 乘积对应 →乘方 → 幂

动作完成后给产物起名——乘法出乘积，乘方出幂

a^{n}=\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ 个 }a}

4第 4 页 · 幂

底数

上一页知道 aⁿ 的结果叫幂。继续看这个表达式，首先要分清：哪个数被反复相乘，哪个数决定相乘的次数。

定义

aⁿ 中，a 叫底数，表示被重复相乘的数。

取值

在有理数乘方中，底数 a 可以是正数、负数或 0。

符号规律

设 b＞0，负底数乘方中，指数为偶数得正数，为奇数得负数。

括号作用

括号决定负号是否属于底数：(-2)⁴＝16，而 -2⁴＝-16。

同一动作反复做对应 →aⁿ 中的底数 a

被重复操作的对象像底数；操作的次数像指数。

a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{个 }a}

5第 5 页 · 底数

指数

前面我们写了 aⁿ，知道 n 在右上角、a 在下面。但 n 为什么偏偏要写在那里？它真的只是一个「小数字」吗？这一页专门看这个右上角的数。

定义：写在底数右上角

表示底数自身相乘的次数，叫上标

角色：指数只是参数

它告诉运算「重复几次」，自己并不参与相乘

特殊约定

0次方=1（a≠0）；1次方=a；负指数=对应正整数次方的倒数

扩展趋势

从正整数起步，逐步扩到 0、负数、有理数，含义跟着变

编程里的 for 循环计数对应 →指数

n 就像 for(i=0;i<n;i++) 里的循环次数，只决定乘法重复几轮，不参与运算本身

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ 个 } a}

6第 6 页 · 指数

负数幂的奇偶性规律

前面学过正数的乘方，那底数换成负数会怎样？(-2)^3 和 (-2)^4 一正一负——符号背后藏着一个清晰的规律。

指数为偶数

结果为正数，负号成对出现两两抵消

指数为奇数

结果为负数，抵消后还剩一个负号

绝对值照常算

先按正数乘方算出绝对值，再把符号贴回去

本质是符号累乘

n 个 (-1) 相乘：偶数得 +1，奇数得 -1

反复拨动开关对应 →负号连乘

每拨一次状态翻转一次：拨偶数次回到原态（正），拨奇数次落到另一态（负）

(-a)^n = (-1)^n \cdot a^n

7第 7 页 · 负数幂的奇偶性规律

科学记数法

你刚学过 10 的正次方是一串大零、负次方是 1 除以这串零。太阳质量写出来要 27 个零、一个原子直径要数小数点后 10 位——这种数怎么写才不让人崩溃？

标准形式

a × 10ⁿ，a 是系数，10ⁿ 是幂部分

系数范围

1 ≤ |a| < 10，首位不能是 0

整数指数

n 是整数，承接上一页：负指数对应小数

使用场景

极大或极小的数，如天文、纳米尺度

把一长串零换成 10 的幂对应 →科学记数法

就像把啰嗦的句子缩写：正 n 代替大零，负 n 代替小数点后的零

a \times 10^n \quad (1 \leq |a| < 10,\ n \in \mathbb{Z})

8第 8 页 · 科学记数法

近似数

你量身高读到 1.732 米，尺子最小刻度只到毫米——再往后你根本看不到，也没必要看到。上页的 6.02×10²³，本身就是个近似数。近似数不是将就，而是有讲究的取舍。

近似数定义

与准确数接近但不完全相等的数，由测量或取舍产生

精确度

近似数与准确数的接近程度，由末位数字位置决定

有效数字

从左边第一个非零数字起，到末位数字为止的全部数字

与科学记数法配合

科学记数法 a×10ⁿ 中，a 保留几位，精度就到几位

用卷尺量桌子长度对应 →近似数的精度

尺子最小刻度决定「能精确到哪里」，刻度之后只能估读为近似

a\times10^{n}\ (1\le a<10)

9第 9 页 · 近似数

精确度

上一节我们学了四舍五入和近似数。但一个近似数到底是「粗」还是「细」？说约等于 3 和约等于 3.14，差别可不小。精确度就是用来回答这个问题的。

精确度的含义

近似数接近准确值的程度，反映「估得有多细」

精确度的表达

用「精确到哪一位」描述，如精确到百分位、个位

与四舍五入的关系

精确到第 n 位，就是看第 n+1 位用四舍五入取舍

科学记数法中的应用

a×10ⁿ 中 a 保留几位小数，就精确到那一位

描述两地的距离对应 →精确度

「约 1 公里」比「约 1.23 公里」粗得多，描述越细精确度越高

10第 10 页 · 精确度

本节要点

✓乘方是 a 自乘 n 次的简写，本质仍是重复乘法
✓负数幂的符号只看指数奇偶：奇负偶正
✓科学记数法把极大极小的数压成可比较的尺度
✓精确度看末位对齐的位数,不是位数越多越准

延伸主题：零指数幂与负整数指数幂同底数幂的乘除运算法则有效数字与精确度的辨析

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考每道题，写下自己的思路，再读参考答案。

1为什么负数的偶数次幂一定是正数？试着用"相反数"的概念解释这个现象。

参考答案想一想：(-3)² 和 3² 的结果一样吗？把负号单独提出来，每乘一次自身，符号就翻一次。偶数次意味着翻了几次？

2用科学记数法表示 0.0000072，10 的指数为什么是 -6 而不是 -7？

参考答案科学记数法的硬规则：小数点前只能有一位非零数字。从 7 到小数点共移动 6 位，所以指数是 -6。数位数比记公式更可靠。

3如果指数不是整数而是分数（比如 2^0.5），"底数乘以自身"还讲得通吗？

参考答案讲不通了。整数指数的"乘自身"图像遇到分数就失效。2^0.5 = √2，完整的乘方需要用极限重新定义——这是初高中的重要分水岭。

12第 12 页 · 课后思考