章节18：不等式，收敛，弱大数定律 Lec. 18: Inequalities
数学大学
章节18：不等式，收敛，弱
概率论——不确定性的科学 · 单元8：极限定理和经典统计 Unit 8: Limit theorems and c
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数学大学
章节18：不等式，收敛，弱
概率论——不确定性的科学 · 单元8：极限定理和经典统计 Unit 8: Limit theorems and c
The Markov inequality
马尔可夫不等式：非负随机变量超出阈值的概率受期望控制。
公式
P(X≥a) ≤ E[X]/a，a>0，X≥0
特点
只要期望，不要任何分布细节
The Chebyshev inequality
切比雪夫不等式：偏离均值 k 个标准差以上的概率不超过 1/k²。
公式
P(|X−μ|≥kσ) ≤ 1/k²
由来
对 (X−μ)² 用马尔可夫不等式
The Weak Law of Large Nu
弱大数定律：独立同分布样本均值依概率收敛到真期望。
结论
样本均值与 μ 之差超 ε 的概率趋于 0
推导
对样本均值用切比雪夫，方差被 n 缩减
Polling
民调应用：抽样均值以高概率接近总体比例，样本量决定精度。
建模
每人是一枚参数为 p 的伯努利硬币
样本量
误差 ±ε 内置信所需的 n 与 1/ε² 成正比
Convergence in probabili
依概率收敛：偏差超 ε 的概率随 n 趋于零，是大数定律的严格语言。
定义
P(|Xₙ−a|≥ε) → 0 对任意 ε>0
地位
比几乎必然收敛更弱的常用收敛概念
Convergence in probabili
收敛例题：样本均值、最大值、比例估计器的依概率行为。
样本均值
弱大数定律的直接实例
最大值
均匀最大值依概率趋于区间右端
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延伸话题：几乎必然收敛、强大数定律与收敛概念的比较。
强弱排序
几乎必然 ⇒ 依概率，反之不然
后续
中心极限定理给出更精细的分布信息
本节要点
- ✓马尔可夫：期望控制尾部
- ✓切比雪夫：方差控制偏离
- ✓弱大数定律：样本均值依概率收敛
- ✓民调精度与 1/ε² 成正比
延伸主题：推导切比雪夫不等式计算民调所需样本量
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1切比雪夫不等式这么弱，为什么还重要？
参考答案它不依赖任何分布形状，仅用期望与方差就给出普适上界——这是弱大数定律证明的全部所需。「弱而通用」使它成为极限定理与鲁棒分析的基石。
2弱大数定律为什么是频率派概率的「合法性证明」？
参考答案它把「概率 = 长期频率」的直觉变成定理：独立重复试验的频率依概率收敛到真概率。概率论的公理体系由此与可观察的频率行为接轨。
3样本均值为什么会越来越稳定？其方差如何变化？
参考答案独立样本均值的方差是单样本方差除以 n——波动按 √n 速率收缩。切比雪夫把这个收缩转成概率保证：n 增大后样本均值集中在真值附近一个越来越窄的带内。