圆柱与圆锥
发现圆锥体积是圆柱的1/3，从此公式不再死记硬背
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圆柱与圆锥
发现圆锥体积是圆柱的1/3，从此公式不再死记硬背
通过展开理解立体图形
上一页认识了圆柱和圆锥。但有个问题：它们的「外皮」长什么样？要给圆柱形蛋糕裹奶油，得涂多大面积？答案藏在『展开』里——把立体表面拆开铺平，曲面的问题就变成了平面问题。
卷起来是圆柱，沿高剪一刀展平，正好是原来那张长方形纸
转化求体积
我们已经会算圆柱体积 V=Sh，可圆锥呢？古人想到一个妙招——不直接求圆锥，而是把它和圆柱放在一起比。
倒满一圆柱杯的水，恰好倒满三个圆锥杯
圆柱的侧面展开图
把饮料罐外面的标签沿一条竖直接缝剪开，再慢慢摊平：弯曲的标签会变成一块长方形。这就是圆柱侧面的展开图。
标签绕罐身一周的长度，摊平后就是长方形的长；标签的宽就是圆柱的高。
圆柱侧面积
把一卷卫生纸中间的纸筒剪开展平，就是一张长方形纸片。想裁出同样大小的纸筒做手工，得先知道每张纸有多大——这就是「圆柱侧面积」要回答的问题。
纸筒剪开摊平就是侧面积；纸的长 = 底面圆周长，纸的宽 = 筒高
圆柱表面积
上页我们把侧面展开成长方形，算出了侧面积。但完整的圆柱是封口的，上面和下面各有一个圆面，把它们一起加上，才是「表面积」。
侧面刷一圈+上下两个盖子各刷一面
圆柱体积
上页我们把圆柱切拼成长方体，发现体积等于底面积乘高。这页把这个发现写成公式，看圆柱体积到底怎么算。
每枚硬币是一个底面 S，叠的总高度就是高 h，叠起来就是整个圆柱
圆锥
生日帽、冰淇淋甜筒、交通锥——都见过吧？它们和圆柱有点像，但顶部不是平的圆，而是慢慢收拢成一点。这种「底圆顶尖」的立体就是圆锥。
尖端对应顶点，筒口的圆对应底面，斜卷的蛋筒壁就是圆锥的侧面
圆柱
圆柱：定义、要点与典型应用
圆锥体积
上节课我们刚学了圆柱体积，现在看圆锥——工厂的煤堆、厨房的漏斗、甜筒冰淇淋都是圆锥形。它的体积怎么算？和圆柱有什么关系？
同一只漏斗装满倒3次，水面恰好升到圆柱杯口
本节要点
- ✓曲面要「展开」,平面才好算面积
- ✓圆柱侧面积 = 底面周长 × 高
- ✓圆柱表面积 = 侧面积 + 两个底面积
- ✓等底等高时,圆柱体积是圆锥的 3 倍
- ✓立体问题转化成熟悉的平面图形来解
课后思考
先自己认真想一遍，再看参考答案。答案是思考路径，不必唯一。
参考答案思路：拿同底等高的透明容器做倒水实验——把圆锥装满水倒入圆柱，正好倒3次才填满。这说明 3 个圆锥 = 1 个圆柱，所以圆锥体积是圆柱的 1/3。
参考答案用皮尺量出桶底周长（除以 2π 推出半径 r），再量出桶的深度 h，套公式 V = πr²h。注意：单位要统一（厘米换算成米），桶壁厚度要适当扣掉。
参考答案体积 = πr²h + (1/3)πr²h = (4/3)πr²h，是原来圆柱的 4/3 倍。表面积 = 圆柱侧面 + 圆柱下底 + 圆锥侧面（接合处圆柱上底和圆锥下底互相抵消）。