数学大学
数列极限的定义
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
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数学大学
数列极限的定义
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
数列极限定义的分析
数列极限的 ε-N 语言：任意小的误差带，存在足够靠后的起始位置。
定义结构
任意 ε>0，存在 N，n>N 时 |aₙ−a|<ε
N 依赖 ε
ε 越小通常 N 越大，但不唯一
子数列的极限
子列极限：收敛数列的任何子列都收敛到同一极限。
子列
保序抽取的无限项
反向用法
两个子列极限不同 ⇒ 原数列发散
数列极限的性质
极限的性质：唯一性、有界性、保号性与四则运算。
唯一有界
收敛数列极限唯一且有界
保号性
极限为正则尾部恒为正
本节要点
- ✓ε-N 定义是判定与证明的标尺
- ✓子列发散可证原数列发散
- ✓收敛 ⇒ 有界 + 极限唯一
延伸主题：用定义证一个简单极限用子列证一个发散
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1收敛数列必有界，反之为什么不成立？
参考答案有界只保证取值挤在有限范围，不保证趋势稳定：±1 交替的数列有界但发散。有界是收敛的必要条件，单调有界才是充分条件。
2用 ε-N 定义证明极限的书写步骤是什么？
参考答案先做倒推分析：从 |aₙ−a|<ε 反解出 n 需大于的关于 ε 的表达式；再正向书写：任意 ε>0，取 N 为该表达式（取整加一），则 n>N 时恒有不等式成立。
3「改变数列有限项不影响极限」的根据是什么？
参考答案极限只考察 N 之后的尾部行为；有限项的改动至多要求把 N 往后挪几步，ε-N 条件依然满足。这也是处理数列开头异常项时可以放心舍弃的依据。