已经解决了的问题 Solved problems
数学大学
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概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
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概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
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连续随机变量习题一：由 PDF 求指定区间概率与常数归一化。
归一化
令全轴积分等于 1 解出未知常数
区间概率
对密度在区间上积分
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连续随机变量习题二：期望与方差按积分定义计算。
期望
E[X]=∫x f(x)dx
方差
用 E[X²]−(E[X])² 更省力
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连续随机变量习题三：指数分布等待时间的概率计算。
生存函数
P(X>t)=e^{−λt} 直接套用
无记忆
条件概率化简到剩余时间同分布
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连续随机变量习题四：正态变量的标准化与查表计算。
标准化
Z=(X−μ)/σ 转为标准正态
查表
Φ(z) 值结合对称性算区间概率
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连续随机变量习题五：由 CDF 反解密度或求分位点。
求导得密度
F 可导段上 F′=f
分位点
解方程 F(x)=p 得 p 分位点
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连续随机变量习题六：条件密度与条件概率的计算。
条件密度
截取密度按条件区间归一化
条件概率
条件区间内的概率再除以 P(条件)
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连续随机变量习题七：全微分做线性近似与误差估计。
近似
Δz ≈ f_xΔx + f_yΔy
误差上界
各输入误差乘偏导后合成
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连续随机变量习题八：由联合密度求边际与条件密度。
边际
对另一变量积分得边际密度
条件
联合除以边际并注意定义域
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连续随机变量习题九：独立性的判定与独立下的简化计算。
判定
联合是否等于边际乘积（含定义域拆分）
简化
独立时区域概率可拆成乘积
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连续随机变量习题十：混合型随机变量的分布与期望。
两部分
离散质量点与连续段分别处理
期望
质量点贡献加连续段积分
本节要点
- ✓习题覆盖 PDF、期望、正态、条件化
- ✓CDF 与分位点互为工具
- ✓混合变量分段处理再合并
延伸主题：选两道重做整理连续题型的通用流程
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1这组连续习题与离散习题的方法有什么平行关系？
参考答案结构完全平行：PMF 换 PDF、求和换积分、分布列换 CDF。掌握「离散到连续只是求和换积分」这一映射，连续题型就不需要重新学一遍。
2十道题里哪几道最能检验基本功底？
参考答案归一化求常数、条件密度与混合变量三道最检验基本功：它们要求对「概率是面积、密度是浓度」的理解真正到位，公式背熟而概念不清的人会在这三道卡住。
3混合型变量的方差怎么算？
参考答案用 E[X²]−(E[X])² 统一处理：质量点与连续段分别贡献 E[X] 与 E[X²] 的份额（按各自概率加权），两项相减即方差。拆开硬算容易漏掉质量点的贡献。