数学大学
周期化分析原理
动态测试与分析（下） · 第4章 周期化分析原理
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周期化分析原理
动态测试与分析（下） · 第4章 周期化分析原理
余弦信号的矩形窗的无理频
谱的正频率一半叫右函数：中心在正余弦频率处的正弦比主瓣。
右函数
正频率一侧的谱函数
主瓣位置
峰对准余弦信号的正频率处
左函数的尾迹干扰
负频率谱（左函数）的尾巴伸进正频段：对右函数形成尾迹干扰。
拖尾伸入
左函数旁瓣延伸到正频率区域
低频影响大
余弦频率越低，左右主瓣越近，干扰越强
余弦信号的余弦窗无理频谱
改用余弦窗的余弦信号谱：旁瓣裙边显著降低。
窗更换
余弦窗的三项移位叠加压制旁瓣
代价
主瓣变宽，频率分辨变粗
余弦信号余弦窗无理频谱右
余弦窗下的右函数分析：主瓣稍宽，但左右函数的互扰更小。
主瓣对比
比矩形窗宽约一倍
互扰减轻
旁瓣低使左函数尾迹影响更小
余弦信号余弦窗无理频谱快
余弦窗谱可由三条移位正弦比相加快速算出：免卷积、直接求值。
三项求和
中心项加两个移位半幅项
效率
三次函数求值代替一次卷积
多余弦的余弦结构
多频率余弦组合的谱结构：各成分谱按位置叠加，强弱一目了然。
谱叠加
每个余弦贡献一组主瓣与裙边
分辨问题
频率靠得太近时主瓣粘连难分
本节要点
- ✓右函数管正频率，左函数会拖尾
- ✓余弦窗压旁瓣，代价是主瓣变宽
- ✓余弦窗谱 = 三条移位正弦比求和
- ✓多频率成分谱按位置叠加
延伸主题：对比矩形窗与余弦窗谱试算三谱叠加的合成谱
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1左函数的尾迹干扰什么时候最严重？
参考答案余弦频率越靠近零频，正负频率两个主瓣离得越近，负频率谱（左函数）的旁瓣会大量伸入正频率一侧，把右函数的读数抬偏高。低频分析选旁瓣低的窗尤其重要。
2余弦窗谱为什么能「免卷积」快速计算？
参考答案余弦窗可拆成三个矩形窗的移位加权组合，其谱自然是三条移位正弦比之和。把卷积预先展开成解析式，计算只剩三次函数求值。
3两个频率靠得很近的余弦，谱上会看到什么？
参考答案两组主瓣部分重叠粘连，可能并成一个鼓包而分不清是几个成分。能否分辨取决于主瓣宽度（窗长）——想要高分辨，就加长观测时间。