数学大学
母函数型Polya定理
组合数学 · Polya定理
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母函数型Polya定理
组合数学 · Polya定理
母函数型Polya定理（1）
Burnside 只数个数，母函数型 Polya 定理更进一步：数出每种配比各有多少。
升级
从总数到按颜色配比的分布清单
工具
循环指标多项式带入颜色和
母函数型Polya定理（2）
循环指标多项式：把每个旋转写成变量的幂次乘积，求和取平均。
循环指标
Z(G)=Σ a₁^{c₁}a₂^{c₂}…/|G|
来源
每个旋转按其循环结构记录幂次
母函数型Polya定理（3）
代入颜色和即得图案清单：每个单项式的次数组合对应一类染色配比。
代入规则
把变量 aᵢ 换成各颜色次数和的幂
读系数
某配比的系数就是该配比的方案数
母函数型Polya定理（4）
实例验证：立方体染色按配比清点，与逐类手数完全吻合。
验证
代入具体配比核对 Burnside 结果
威力
一次计算得到全部配比的答案清单
本节要点
- ✓Polya 母函数型：按配比分布计数
- ✓循环指标 = 旋转循环结构取平均
- ✓代入颜色和，读系数得答案
延伸主题：写出立方体旋转的循环指标算一个双色配比清单
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1循环指标多项式里每个因子的含义是什么？
参考答案某个旋转把位置分成若干循环：一个长度为 k 的循环要求环上位置同色，对应因子 aᵏ 的 k 次幂记录这个约束。全体旋转的记录取平均，就是循环指标。
2与 Burnside 引理相比，母函数型 Polya 强在哪里？
参考答案Burnside 给出一个总数；母函数型给出完整的多项式清单——每种颜色配比各有多少方案。把变量都取 1 时它退化为 Burnside，信息量是后者的展开版。
3循环指标对不同的群为什么形状不同？
参考答案循环指标逐旋转记录循环结构，而不同作用对象（立方体面、项链珠位、正方形顶点）的旋转集合与循环长度分布各不相同。群与作用共同决定指标——同一群在不同作用下的循环指标也不同。