平面向量的运算

官官方数学老师·13 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前
✦ 平面向量的运算数学平面向量的运算向量加法
平面向量运算规则几何意义易错边界

平面向量的运算

看清加减、数乘、数量积的真实几何意义与常见边界

按 空格/→ 演示下一步

1 / 13 页

全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放

平面向量运算规则几何意义易错边界

平面向量的运算

看清加减、数乘、数量积的真实几何意义与常见边界

1第 1 页 · 平面向量的运算

向量加法

前面认识了平面向量——既有大小又有方向。把两个向量合在一起怎么算？先想一个动作：从 A 向东走 3 米到 B，再向北走 4 米到 C——总效果相当于从 A 直接走到 C。

三角形法则
向量 a 终点接向量 b 起点，和即从 a 起点到 b 终点
平行四边形法则
两向量共起点，和为以二者为邻边的平行四边形对角线
坐标运算
(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)，分量分别相加
运算律
交换律 a+b=b+a、结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 均成立
零向量与相反向量
a+0=a；a+(-a)=0，分别为加法的单位元与逆元
连续两步位移对应 →向量加法

两段走的总效果=一步走到终点；方向与大小逐段累加

a⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2)\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)
2第 2 页 · 向量加法

向量加法的三角形法则

人从 A 走到 B，再从 B 走到 C，最终位移就是从 A 到 C。三角形法则，正是把这种「接力走」翻译成了几何语言。

首尾相接
把第二个向量的起点平移到第一个向量的终点处
起点到终点
和向量起点是首向量起点，终点是末向量终点
与平行四边形法则等价
两向量共起点时，两种法则给出相同的和向量
适合连续求和
多向量依次首尾相接，比平行四边形更便捷
接力走路对应 →三角形法则

每段是中间位移，总效果等于起点直接到终点

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}
3第 3 页 · 向量加法的三角形法则

向量加法的平行四边形法则

上页三角形法则是「走两步」的路径相加。但实际中两个力、两个速度常常从同一个点出发——这时把它们拼成一个平行四边形，对角线就是合力。这就是平行四边形法则。

法则内容
共起点的两向量作邻边，对角线即为和向量
与三角形法则等价
平移一条边后，三角形法则就是它的一半
适用场景
两向量共起点时优先选用，如力的合成
直观看出交换律
另一条对角线即 b+a，两对角线相等即 a+b=b+a
两人从同一点拉箱子对应 →平行四边形法则

两根绳为邻边，箱子的位移方向即对角线

OA→+OB→=OC→（OACB 为平行四边形）\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\text{（OACB 为平行四边形）}
4第 4 页 · 向量加法的平行四边形法则

向量减法

加法已经会了：把两个位移首尾相接。工程里更常见的问题不是「合在一起是多少」，而是「从 A 到 B 的位移到底有多大、朝哪边」——这正是减法要回答的问题。

减法即加反向
a - b = a + (-b)，减去一个向量等于加上它的反向向量
共起点法则
a、b 同起点时，a - b 的箭头从 b 的终点指向 a 的终点
坐标直接相减
(x₁,y₁) - (x₂,y₂) = (x₁-x₂, y₁-y₂)，对应坐标分别相减
模长即两点距
|a-b| 即两点间距离；满足 |a-b| ≤ |a|+|b|，等号当且仅当共线同向
位置矢量相减对应 →位移向量 AB

若 OA、OB 是 A、B 相对原点的位置矢量，则 OA - OB = BA

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗);AB→=OB⃗−OA⃗\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}); \quad \overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}
5第 5 页 · 向量减法

向量的相反向量

上页我们用「起点重合、终点连线、指向被减」几何地做减法。代数上还有一种等价视角：减去一个向量，等于加上它的相反向量——这就需要先认识「相反向量」。

定义
与 a⃗ 长度相等、方向相反的向量，记作 -a⃗；零向量是自身的相反向量
几何意义
与原向量关于任一点中心对称——长度相同，方向沿同一直线反向
核心性质
二者之和为零向量：a⃗ + (-a⃗) = 0⃗
减法的代数本质
a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗)，把减法化为加相反向量
数轴上的相反数对应 →向量的相反向量

数上 -3 与 3 异号等长、和为 0；向量上 -a⃗ 与 a⃗ 异向等长、和为零向量——结构同构

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗),−(x,y)=(−x,−y)\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}),\quad -(x,y)=(-x,-y)
6第 6 页 · 向量的相反向量

向量数乘

上节学了相反向量-a就是用-1乘以a，把-1推广到任意实数k，就得到更一般的运算——向量数乘。ka仍是向量，但它的长度和方向都随k变化。

数乘定义
实数k与向量a的乘积记作ka，结果仍是向量
模长变化
|ka|=|k|·|a|，长度变为原来的|k|倍
方向判定
k>0与a同向；k<0与a反向；k=0得到零向量
平行判定
a∥b ⟺ b=ka（除零向量外两向量共线）
运算律
分配律、结合律与普通乘法一致
弹簧拉伸倍数对应 →向量数乘

k>0沿原方向拉伸|k|倍；k<0反向拉伸，相当于把弹簧翻转

a⃗∥b⃗⇔b⃗=ka⃗ (k≠0)\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}=k\vec{a}\ (k\neq 0)
7第 7 页 · 向量数乘

向量共线条件

数乘一节里我们看到，向量 b 乘以任意实数 λ，方向或保持、或翻转。那两个向量共线，本质上就是「互相能数乘得到」。下面抠细节。

定义式
非零 a∥b ⟺ 存在实数 λ 使 a = λb
λ 的方向含义
λ>0 同向，λ<0 反向，λ=0 得零向量
零向量边界
零向量与任意向量共线，方向讨论无意义
坐标判定式
(x₁,y₁)∥(x₂,y₂) ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0（均非零）
典型应用
三点 A、B、C 共线 ⟺ AB = λ·AC（A 为公共端点）
同一根可伸缩弹簧对应 →共线向量对

拉长缩短看 |λ|，正负决定指向，整根弹簧是一条直线

x1y2−x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
8第 8 页 · 向量共线条件

向量的夹角

前面学了向量的加减和数乘，但两个向量夹角不同，结果可能天差地别——两个同样大的力，方向相同能推动一辆车，方向相反却纹丝不动。所以我们需要精确量化两个向量的方向差异。

几何定义
两个非零向量移到同一起点，两条有向线段所夹的较小角即为夹角
代数公式
把夹角转为代数：cosθ = (a·b)/(|a||b|)，用数量积与模长即可算出
三类特殊角
同向 θ=0；反向 θ=π；垂直 θ=π/2，三者要脱口而出
边界陷阱
零向量无方向，不定义夹角；用公式前先验证两个向量都非零
时钟的时针与分针对应 →向量的夹角

两指针移到圆心共起点，所成较小角就是向量夹角；直观看出 0~2π 中应取哪一半对应 0~π

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣,θ∈[0,π]\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|},\quad\theta\in[0,\pi]
9第 9 页 · 向量的夹角

向量的数量积

上一页我们学会了求两向量的夹角 θ。但只知道「夹多少度」还不够——我们想知道两个向量「有多对齐」。夹角配合模长，能不能合成一个数？这就是数量积要回答的问题。

定义
a·b = |a||b|cosθ，θ 为两向量夹角，结果是实数而非向量
几何意义：投影
等于 |a| 乘以 b 在 a 方向上的投影长度；夹角 >90° 时投影为负
运算律
满足交换律、分配律、与数乘结合；点乘结果是数，无结合律
两个核心结论
a·a = |a|²；a≠0 且 b≠0 时，a·b=0 等价于 a⊥b
太阳垂直照射物体的影子对应 →向量 b 在向量 a 方向上的投影

影子长度 = |b|cosθ，再乘 |a| 就是 a·b；阳光斜照时影子落在反方向（cosθ<0）

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ(a⃗≠0⃗,b⃗≠0⃗)\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \quad (\vec{a}\neq\vec{0},\vec{b}\neq\vec{0})
10第 10 页 · 向量的数量积

向量投影

上一节我们用数量积刻画「两向量同向程度」，但只有 cosθ 还少了一截长度信息——把它补上，就是投影。

投影本质
a 在 b 方向上的影子长度（带方向），刻画同向量的「多少」
两种形式
数量投影 a·b/|b| 是长度；向量投影再乘 b̂ 是向量本身
边界与符号
a⊥b 为 0；θ>90° 投影为负；b=0 时无意义
典型应用
力沿位移投影即做功；向量分解的标准工具
太阳下的影子对应 →向量投影

a 在 b 方向上的影子长度就是投影长度

projba=a⋅b∣b∣2b,compba=a⋅b∣b∣\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b},\quad \text{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}
11第 11 页 · 向量投影

本节要点

  • ✓加法两法则是同一运算的两视角：路径合成与位移合成
  • ✓减法 = 加相反向量，运算可统一为「加法 + 数乘」
  • ✓共线 ⇔ 成比例（非零向量），几何关系翻译为代数方程
  • ✓数量积 = 长度乘投影长度，结果是标量而非向量
延伸主题：空间向量：平面向量的三维推广向量的坐标表示与坐标运算数量积的应用：垂直判定与距离
12第 12 页 · 本节要点

课后思考

三个开放性问题检验理解程度

课后思考
三个开放性问题检验理解程度
13第 13 页 · 课后思考
平面向量的运算 · 知识图解