§2.2 测量平差的数学模型

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测量平差平差模型适用边界统一框架

测量平差的数学模型

搞清四种平差方法的数学等价关系，掌握各模型适用场景与选用准则

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测量平差平差模型适用边界统一框架

测量平差的数学模型

搞清四种平差方法的数学等价关系，掌握各模型适用场景与选用准则

1第 1 页 · 测量平差的数学模型

测量误差与平差必要性

上一节我们建好了函数模型和随机模型，可你有没有想过：为什么要折腾这套东西？因为观测值天生带误差，而误差处理恰恰是平差的核心任务。

误差不可避免
仪器精度、操作习惯、环境扰动都会让观测值偏离真值
多余观测产生矛盾
观测数多于必要参数时，各观测之间不再相容
最小二乘准则
以残差平方和最小作为最优估计的判据
平差即求最优估计
在矛盾的观测中合理分配改正数，得到唯一最优解
多人猜教室长度取平均对应 →多余观测平差

每人都有偏差（带误差的观测），综合多人结果（平差）比任何单人猜测都更接近真值

VTPV=min⁡\mathbf{V}^T \mathbf{P} \mathbf{V} = \min
2第 2 页 · 测量误差与平差必要性

最小二乘原理

上一节我们看到多余观测必然产生矛盾——同一段距离量了四次，四个结果对不齐。怎么从这一堆打架的数据里，挑出最合理的那组参数？这就要请出最小二乘原理。

残差平方和最小
以 ∑vv 最小为准则，求解参数最优值
无偏估计
估计量期望等于真值 E(ẑ)=z，没有系统偏差
方差最小
在所有无偏估计中，方差最小即精度最高
高斯-马尔可夫定理
满足无偏+方差最小的估计，称为最优无偏估计
打靶看弹孔分布对应 →最小二乘原理

靶心是真值，弹孔是观测，最小二乘找最佳瞄准点

VTPV=min⁡V^TPV = \min
3第 3 页 · 最小二乘原理

平差数学模型的整体框架

从左往右读：先有平差问题，再拆出函数模型与随机模型两支柱，共同驱动平差计算并得到最优参数估值。

图解渲染中…
B2：观测量与参数间的数学方程，如 L=AX+ΔB3：观测精度的统计描述，核心是权矩阵 PC1：如三角形内角和等于 180° 的几何约束C2：如不同等级导线赋予不同权值
4第 4 页 · 平差数学模型的整体框架

条件平差的基本思想

三角形三内角按理加起来等于180°，这就是一条"几何条件"。但实际测量往往凑不齐这个数，差出来的微小量就是误差带来的矛盾。条件平差正是从这里出发。

必要观测与多余观测
确定几何形状至少需 t 个观测；实际观测 n > t 时，多余数 r = n - t
条件方程
观测值之间必须满足的函数关系，独立条件方程的个数恰等于 r
矛盾的来源
误差使观测值无法精确满足条件方程，产生闭合差
求解思路
给每个观测加改正数 v，使所有条件精确成立，并使 Σv² 最小
团队记账凑收支平衡对应 →条件平差

每人记一笔账（观测），账本收支必等（条件）。误差让账对不齐，平差微调各笔使收支精确相等、且改动最小

r=n−t;∑vi2=min⁡s.t.f(L^)=0r = n - t \quad ; \quad \sum v_i^2 = \min \quad \text{s.t.} \quad \boldsymbol{f}(\hat{\boldsymbol{L}}) = \boldsymbol{0}
5第 5 页 · 条件平差的基本思想

条件方程的建立流程

建条件方程就像给一张网列约束清单——先数骨架，再找冗余，最后把约束全部写成等式。

1
数必要观测 t
看网形结构，确定最少要几个观测量才能把网定形
2
算多余观测 r
r = n − t，多出来的观测量就是产生条件的基础
3
列所有约束条件
从几何图形和物理关系中，把所有等式约束逐个列出
4
写成函数形式
用观测值和改正数表达，改写成 v = BV + f 的线性形式
5
检查个数匹配
条件方程个数必须等于 r，多了少了都说明漏列或重复
6第 6 页 · 条件方程的建立流程

条件平差的数学表达

沿箭头方向追踪：从观测值 L 出发，经条件方程、闭合差、法方程，最终得到平差值 L̂。

图解渲染中…
a2：矩阵形式 BV̂ + W = 0，共 r = n − t 个a3：W = BL₀ + A₀，由观测值直接算得a4：BᵀPB·K̂ + W = 0，最小二乘推导a5：K̂ = −(BᵀPB)⁻¹W，联系数向量
7第 7 页 · 条件平差的数学表达

条件平差实例：闭合导线

前一页我们梳理了条件方程的建立流程。这页用闭合导线这一最经典的实例把流程落到实地——从起点出发、绕一圈、再回到起点，看哪些几何关系能写成条件方程。

图形条件
内角和必须等于 (n-2)·180°，纯几何拓扑给出的硬约束，与观测精度无关
坐标条件
纵横坐标增量闭合差为零；既依赖角度也依赖边长，体现两类观测的耦合
附和边条件
存在已知边或独立基线时，多出的边长闭合关系替换或叠加新约束
条件总数
多余观测数等于独立条件方程数，共同进入 VᵀPV=min 求最或然改正数
绕小区走一圈回家对应 →闭合导线条件方程

绕一圈必须回到原点；平差就是分配那些'绕偏一点点'的误差

∑i=1nβi=(n−2)⋅180°, ∑Δx=0, ∑Δy=0\sum_{i=1}^{n}\beta_i=(n-2)\cdot180°,\ \sum\Delta x=0,\ \sum\Delta y=0
8第 8 页 · 条件平差实例：闭合导线

间接平差的引入

上节条件平差盯的是『观测之间是否守规矩』——内角和、导线闭合差都得满足。这页换问法：能不能先挑几个『标杆量』当未知数，再用它们把每个观测都翻译一遍？

选择参数
挑出 u 个独立量作参数；u 必须等于必要观测数 t，具体挑哪几个自由
函数表达
每个观测写成参数函数 L̂ᵢ = fᵢ(X̂)，几何或物理定律都行
泰勒线性化
参数取近似值 X⁰ 后展开一次，丢掉高阶项
误差方程
V = Bx̂ − l；n 个方程解 u 个修正量，n>u 触发最小二乘
选锚点建坐标系对应 →间接平差选参数

先固定几个标杆，其他点全用相对位置表达；几何约束自动成立

V=Bx^−lV = B\hat{x} - l
9第 9 页 · 间接平差的引入

条件平差 vs 间接平差

同一平差问题有两条建模路径，选错模型会让计算量翻倍。

条件平差
  • 未知量：观测值改正数 v
  • 出发点：网的几何与物理条件
  • 方程数：r = n − t 个条件方程
  • 适用：条件少、观测多的经典网形
间接平差
  • 未知量：部分观测值（参数 x）
  • 出发点：先选参数再列观测方程
  • 方程数：n 个误差方程
  • 适用：参数少、易赋初值的工程网
条件数 < 参数数时用条件平差；反之用间接平差，工程中多选后者。
10第 10 页 · 条件平差 vs 间接平差

间接平差的实施步骤

间接平差把「找最优值」翻译成「解一组线性方程」，按四步顺序推进。

1
选取参数
挑 t 个独立量作未知数，要求必要且充分
2
列误差方程
把每个观测写成参数的函数加改正数 V = Bx̂ − l
3
组成法方程
由 VᵀPV 取最小导出 BᵀPBx̂ = BᵀPl
4
求解与检核
解出参数估值、代回求改正数、估算精度
11第 11 页 · 间接平差的实施步骤

间接平差的数学表达

沿流程自上而下读：从参数选择到精度评定，关键步骤附矩阵公式。

图解渲染中…
a4：误差方程：V残差向量，B系数阵，x̂改正数，l常数项a6：法方程，N = B^T P B 称为法矩阵a7：x̂即所求参数改正数，W = B^T P la8：计算残差V并求单位权中误差等精度指标
12第 12 页 · 间接平差的数学表达

间接平差实例：高程控制网

上页给出间接平差的数学表达，这一页用一个水准网实例把流程跑一遍，从参数选择一直到求高程估值。

问题设置
图中有2个已知点和若干待定点，水准路线观测值为高差
选取参数
以待定点高程 u₁, u₂, …, u_t 为未知参数，共 t 个
观测方程
把每条路线的高差写成参数的函数，并加改正数 V
误差方程
整理为标准形式 V=Bx̂-l，B 为系数矩阵、l 为常数项
解算与精度
组成法方程 B^T P B x̂=B^T P l，求 x̂ 并评定精度
拼图定位每块拼图对应 →水准网定各点高程

每条边给出两点间的高差约束，多条边一起把各点高程定位出来

V=Bx^−l,BTPBx^=BTPlV = B\hat{x} - l,\quad B^TPB\hat{x} = B^TPl
13第 13 页 · 间接平差实例：高程控制网

附参数条件平差的动机

条件平差和间接平差都能解决不少问题，但遇到测不到的量时怎么办？这就需要在条件方程之外再引入一组参数，把那些难以直接观测的量间接表达出来。

直接观测的局限
某些几何量无法架设仪器直接测得，如不邻接角、跨障距离
参数作桥梁
选取便于表达的辅助参数，将难观测量表示为它们的函数
条件仍须满足
参数之间仍受几何或物理条件约束，转化为参数方程
两类方程并存
模型同时含条件方程 Φ(û)=0 和观测方程 L̂=L̂(û)
几何证明中的辅助线对应 →附参数条件平差

复杂关系不能直接证，添辅助线（参数）搭桥，再用原有几何条件约束

L^=L^(u^),Φ(u^)=0\hat{L}=\hat{L}(\hat{u}),\quad \Phi(\hat{u})=0
14第 14 页 · 附参数条件平差的动机

附参数条件方程的结构

从纯条件方程出发，逐步加入参数项，拆解附参数条件方程的三段结构与维度。

图解渲染中…
a4：A·V：观测改正V的线性组合，A为r×n阶a5：B·δx：参数改正δx的线性组合，B为r×u阶a6：W：闭合差向量，反映条件方程的不符值a3：总条件数 r = r0 + u，r0为原有条件个数，u为增补参数数
15第 15 页 · 附参数条件方程的结构

参数消去法

上节的方程里有参数 X̂ 混在改正数 V 里,没法直接套条件平差公式。怎么把参数消掉、回到只有 V 的形式?这就是参数消去法要做的事。

方程分组
按是否含参数拆成两组
求解参数
由含参数方程解出 X̂ 用 V 表示
回代消去
代入不含参数方程,只剩 V
方程数收敛
最终剩 r = n-t 个条件方程
形式统一
与纯条件平差完全一致,可套用同一公式
方程组的代入消元法对应 →参数消去法

解出参数 X̂,代入其他方程把它消掉

BV+Ax^+l=0→消参数BˉV+lˉ=0BV + A\hat{x} + l = 0 \xrightarrow{\text{消参数}} \bar{B}V + \bar{l} = 0
16第 16 页 · 参数消去法

限制条件的来源

条件平差要列条件方程，但方程从何而来？导线角度和=(n-2)×180°、往返测高差相等——这些'必然关系'并非凭空规定。本页拆解三类来源。

几何约束
点位、角度、距离的固有空间关系，如三角形内角和=180°、闭合图形的周长条件
物理约束
物理定律决定的必然关系，如往返测高差必相等、视线水平时垂直角必为零
先验参数关系
参数间已知的解析函数关系，如同岸水位差唯一确定两点高差
拼图已成形的图案对应 →条件方程的客观来源

每块拼图放哪里由图案本身定，不是拼图框定的。条件方程来源相同——客观规律，不是平差员规定

r=n−t：r为条件方程总数，n为观测量总数，t为确定网形所需的必要观测数r = n - t：r 为条件方程总数，n 为观测量总数，t 为确定网形所需的必要观测数
17第 17 页 · 限制条件的来源

附限制条件平差的数学表达

两组方程并行建立，借拉格朗日乘子联合极值，最终同时满足最小二乘与所有限制。

图解渲染中…
E：线性化误差方程 V = B̂x̂ + lC：参数间的约束 Cx̂ + Wx = 0L：拉格朗日乘子，把约束并入目标函数M：误差法方程与约束方程的合并矩阵
18第 18 页 · 附限制条件平差的数学表达

典型应用：坐标转换模型

上节我们认识了附限制条件平差的数学结构。本节走进坐标转换这一典型工程场景，看七参数模型中旋转角参数的限制条件如何产生。

七参数构成
三平移(ΔX,ΔY,ΔZ)、三旋转角(εx,εy,εz)、一尺度因子m
旋转矩阵R
三旋转角按特定顺序复合成的3×3方阵，描述坐标系姿态变化
正交性约束
R^T·R=I，保证旋转为保距变换，不伸缩、不剪切
限制条件来源
线性化用sinθ≈θ、cosθ≈1，破坏严格正交性，需补约束方程
刚体在空间转动对应 →旋转矩阵的正交性

真实刚体不变形，长度角度保持——正交是数学上「刚体不变形」的承诺

RT⋅R=IR^T \cdot R = I
19第 19 页 · 典型应用：坐标转换模型

四种函数模型总览

四种模型数学等价、结果一致，但建模路径不同——选错会让方程数和列错率同时飙升。

条件平差族
  • 基本型·条件平差：纯条件方程 AV + W = 0
  • 扩展型·附参数条件平差：增加 B·ŝ 项 (u > t)
  • 未知量选改正数 V，可含附加参数 ŝ
  • 适用网形几何条件清晰、闭合差易列的场景
间接平差族
  • 基本型·间接平差：纯参数方程 V = Bx̂ − l
  • 扩展型·附限制条件：在参数方程上叠加 C·x̂ = Wₓ
  • 未知量选参数 x̂，可附约束方程
  • 适用参数选取自然、便于列误差方程的场景
四模型同解；建模挑最容易列方程的形式——条件清楚选条件族，参数好选选参数族。
20第 20 页 · 四种函数模型总览

模型选择决策树

从问题结构出发，沿左右两条主线走到四种函数模型。

图解渲染中…
B1：能直接挑出 u 个独立参数，如坐标、高程F1：参数不易挑，但观测量间的条件易列出C1：参数间存在函数约束，如新老坐标共用点H1：纯间接与纯条件都行不通时的混合兜底
21第 21 页 · 模型选择决策树

随机模型的作用

GPS 测距给 ±5mm，水准仪测高差给 ±2mm——两条观测不能一视同仁。怎么让平差自动「偏心」更可靠的那一条？这就靠随机模型。

观测值精度有差
仪器等级、观测方法、外界环境不同，每条观测的可靠度天然不同
协方差阵 D
描述观测向量的方差与协方差，是随机模型的「绝对表达」
权阵 P
P = σ₀²·D⁻¹，去掉量纲后的相对可靠度，平差计算的直接输入
权比反比于方差
互不相关时 P_i : P_j = σ_j² : σ_i²；相关时必须用完整 D
权决定估值偏向
精度高的观测对参数估值「拉力」更大，结果整体向它靠拢
专家会诊对应 →权的分配

资深专科医生意见权重大，最终诊断按资历和匹配度加权综合

P=σ02D−1,Pi=σ02/σi2P = \sigma_0^2 D^{-1}, \quad P_i = \sigma_0^2 / \sigma_i^2
22第 22 页 · 随机模型的作用

函数模型与随机模型的结合

上一页说随机模型给观测赋权，但权再多也回答不了「该满足什么关系」；函数模型讲清了关系，又不知每个观测该不该信。两者必须合在一起，才能算出唯一的平差结果。

函数模型的贡献
决定残差 V 的结构：V 必须满足的几何/物理约束
随机模型的贡献
决定权矩阵 P：每个观测在 VᵀPV 中占多少分量
数学耦合方式
VᵀPV=min 中，V 的形状由函数模型定，P 由随机模型给
缺一不可的后果
只有函数模型→欠定、解不唯一；只有随机模型→无约束，V=0 无意义
地图 + GPS 信号精度对应 →函数模型 + 随机模型

地图定路怎么连（约束），GPS 精度定数据多可靠（权）；缺一无法决策

VTPV=min⁡,V 由函数模型定结构,P 由随机模型定V^TPV = \min,\quad V\text{ 由函数模型定结构},\quad P\text{ 由随机模型定}
23第 23 页 · 函数模型与随机模型的结合

自测：模型选择

点击作答

某水准网平差中，以全部待定点高程为参数进行平差，同时要求网内2个起算点的高程必须保持已知值不变。该平差属于哪种模型？

24第 24 页 · 自测：模型选择

本章知识要点回顾

  • ✓平差本质：利用多余观测消除矛盾，求最优估值
  • ✓条件平差以条件为中心，间接平差以参数为中心
  • ✓混合模型处理参数非独立或需扩充未知数的情形
  • ✓模型选择取决于观测量类型与计算便利性
  • ✓随机模型（权）决定各观测对结果的影响权重
延伸主题：最小二乘的数值计算方法平差结果的精度评定粗差探测与抗差估计
25第 25 页 · 本章知识要点回顾

课后思考

先独立思考再看参考答案，关注思路而非结论。

1最小二乘准则是平差的唯一选择吗？若改用其他准则，结果会有哪些本质差异？

参考答案最小二乘具备无偏、方差最小的最优统计性质，但并非唯一。绝对值和最小、抗差估计等准则对粗差更稳健，只是计算更复杂。

2同一控制网，分别用条件平差和间接平差求解，最终平差值一定相同吗？为什么？

参考答案平差值相同。两种模型是同一问题的不同参数化方式——未知数选取不同，但约束关系与最小二乘解唯一，决定结果一致。

3若随机模型中的权值估计不准，平差值的精度评定还能反映真实精度吗？该如何应对？

参考答案精度评定会失真。应对：定权后做统计检核；用赫尔默特方差分量估计迭代调整；或引入抗差估计削弱权值偏差的影响。

26第 26 页 · 课后思考