数学大学
二重积分的概念和性质
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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二重积分的概念和性质
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
二重重积分引入
曲顶柱体的体积：以区域为底、曲面为顶的立体体积引出二重积分。
分割
区域切成小片，每片竖起细柱
求和取极限
细柱体积之和随分割加细趋于体积
二重积分定义
二重积分 = 分割、采样、求和、取极限四步的极限值。
定义式
lim Σf(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ
与分割无关
连续函数时极限与分割采样方式无关
二重积分性质
线性、区域可加、保序性、估值不等式与积分中值定理。
可加性
区域切开积分相加
中值定理
连续函数积分等于某点函数值乘面积
关于二重积分性质的例题
性质应用例：估积分范围、比较积分大小、利用对称性化简。
估值
最值 × 面积夹住积分值
奇偶对称
对称区域乘奇函数积分为零
本节要点
- ✓二重积分源于曲顶柱体体积
- ✓定义四步：分割、采样、求和、取极限
- ✓线性、可加、中值等性质保留
延伸主题：用中值定理估一个积分用对称性化简两个积分
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1二重积分与定积分的定义结构有何异同？
参考答案同为「分割、采样、求和、取极限」，差别只在分割对象：一元割区间得长度，二元割平面得面积。定义的同构性使定积分的几乎全部性质平移到二重积分。
2积分中值定理在估计上如何使用？
参考答案连续函数在闭区域上的积分等于某点函数值乘区域面积，因此积分值被「最小值×面积」与「最大值×面积」夹住。快速估算积分量级、检验计算结果是否离谱都靠它。
3利用对称性化简积分时最常见的误用是什么？
参考答案区域对称但函数不对称时误用奇偶消去，或函数对称但区域不对称。正确使用必须两条同时满足：区域关于某轴对称 + 函数关于另一变量具相应奇偶性。