（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述
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线性系统理论 · 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述
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线性系统理论 · 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述
LST7-1-1 多项式矩阵描述
多项式矩阵描述（PMD）用多项式矩阵同时写出内部变量与外部输入输出。
方程形式
P(s)ξ=Q(s)u，y=R(s)ξ+W(s)u
优势
保留内部结构，比传递函数阵信息更全
LST7-1-2 不可简约的多项
P 与 Q 左互质、P 与 R 右互质时 PMD 不可简约：没有隐藏的公共模态。
互质条件
左右互质保证描述无冗余
含义
不可简约描述的极点即真实系统极点
LST7-2-1 解耦零点
输入或输出解耦零点：存在于 PMD 中却被输入输出「挡住」的模态。
输入解耦零点
P 与 Q 非左互质产生的公共根
输出解耦零点
P 与 R 非右互质产生的公共根
特征
不出现在传递函数阵中，不可控或不可观
LST7-3-1 系统矩阵
把 PMD 四个矩阵拼成分块系统矩阵：一个对象统一刻画系统。
分块结构
左上 P，右上 Q，左下 −R，右下 W
作用
极点零点与等价性都可在其上讨论
LST7-4-1 严格系统等价（
严格系统等价：两个 PMD 经单模变换互相联系，保证传递函数阵相同。
变换关系
用单模阵实施行、列与增广变换
不变量
等价下传递函数阵与内部极零保持
LST7-4-2 严格系统等价（
等价的意义：同一系统的不同描述可互相转化，分析结论彼此通用。
描述互通
PMD、状态空间、传递函数阵可转化
应用
选择最方便的形态做分析与设计
本节要点
- ✓PMD 保留内部结构信息
- ✓互质性即不可简约，无隐藏模态
- ✓解耦零点不出现在传递函数阵
- ✓严格系统等价保持传递行为
延伸主题：判断一个 PMD 是否不可简约找出给定 PMD 的解耦零点
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1解耦零点为什么不出现在传递函数阵中？
参考答案解耦零点对应的模态要么不受输入激励（输入解耦），要么不在输出中显露（输出解耦）——从外部看这个极点被「隔离」了。因此传递函数阵作为外部描述不包含它们。
2严格系统等价「严格」在何处？
参考答案它要求等价变换是单模的且保持系统矩阵的分块结构，从而不仅传递函数阵相同，极点零点与解耦零点结构也完全保留——比「外部行为相同」的等价强得多。
3有了状态空间描述，为什么还需要多项式矩阵描述？
参考答案PMD 允许非真描述、保留内部消去的模态信息，且可直接处理频域代数条件；在频域综合（如补偿器设计）中，多项式矩阵语言比状态空间更自然。