实验:探究加速度与力、质量的关系

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牛顿第二定律实验设计控制变量数据分析

实验:探究加速度与力、质

看清实验设计逻辑、数据处理细节与结论的适用边界

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牛顿第二定律实验设计控制变量数据分析

实验:探究加速度与力、质

看清实验设计逻辑、数据处理细节与结论的适用边界

1第 1 页 · 实验:探究加速度与力、质

力

上页把装置搭好：小车、轨道、砝码、打点计时器。要让小车动起来，必须有个"推手"——这就是力。

力的定义
物体与物体之间的相互作用，能改变运动状态或形状
矢量性
既有大小也有方向，方向决定加速还是减速
合力与分力
多个力共同作用可等效为一个合力 F合
实验中的力
用砝码重力近似代替绳拉力，前提是小车质量远大于砝码
常见边界
力不可脱离施力与受力物体；不接触也可产生力
推购物车对应 →力的矢量性

推车加速、反向推减速——方向大小都决定结果

F=maF = ma
2第 2 页 · 力

描点法判断变量关系

上页我们已采集多组 a 与 F、a 与 m 的数据。散落的数字本身看不出规律——把它们落在坐标系上，让点的整体形状替我们说话，这就是描点法。

选轴描点
自变量放 x 轴、因变量放 y 轴，每组数据一个点，标度尽量让点铺满图纸
观整体形状
退一步看：是否过原点的直线？不过原点的直线？还是明显弯曲的曲线？
带函数去对号
用 y=kx、y=kx+b、y=k/x、y=kx² 四种典型形状去比，看哪种穿过最多点、偏差最小
定型关系
过原点直线→正比；不过原点直线→线性；曲线则多为反比或平方关系
必要时换变量重描
a-m 像双曲线时，改用 a-1/m 重描，常可化为过原点的直线
雪地里看脚印走向对应 →坐标系上看数据点走向

零散脚印看不出方向，串成线就露出行进路线——零散点看不出关系，描出趋势就显出函数

y=kxy=kx+by=kxy=kx2y = kx \quad y = kx + b \quad y = \frac{k}{x} \quad y = kx^2
3第 3 页 · 描点法判断变量关系

加速度

小车滑下时打的点越来越疏，说明相同时间内位移越来越大、速度越来越快。描述「速度变化快慢」的物理量，就是加速度。

定义
速度的变化率，即 Δv/Δt
矢量性
既有大小又有方向，是矢量
与速度不同
速度描述运动状态，加速度描述状态变化
方向关系
a 与 v 同向→加速；反向→减速；垂直→转弯
踩油门与踩刹车对应 →加速度的大小与方向

油门越深加速度越大；改踩刹车时加速度方向反转，车开始减速

a=v−v0Δta = \frac{v - v_0}{\Delta t}
4第 4 页 · 加速度

利用位移比求加速度比

上一页我们用打点计时器记录了小车的运动，纸带上留下了一连串计数点。可要直接算出每次实验的加速度a具体数值，过程相当麻烦。有没有更聪明的办法，只比大小不算具体值？

直接测a的困难
加速度需先测速度变化再除以时间，纸带测量步骤繁琐且容易引入较大误差
位移比代替a比
由s=½at²，当初速为零、时间相同时，s与a成正比，可用s比值代表a比值
适用前提条件
两次实验必须从静止出发，且选取相同的时间间隔（同样间隔的计数点）
纸带上的操作
分别测出两次纸带上相同计数间隔对应的位移s₁、s₂，s₁/s₂即为a₁/a₂
两人同时起跑对应 →位移比求加速度比

都从零加速，同时间内跑得远的人加速度更大，位移比等于加速度比

s1s2=a1a2(初速为零、时间相同)\frac{s_1}{s_2}=\frac{a_1}{a_2}\quad(\text{初速为零、时间相同})
5第 5 页 · 利用位移比求加速度比

控制变量法

上页讲了用位移比求加速度比，但还没回答最核心的问题：力、质量、加速度三者到底谁决定谁？三个变量一起变，关系根本看不清。我们需要「一次只动一个」的策略。

核心思想
多变量影响同一结果时，每次只让一个变量变化，其余保持不变
本实验两步走
先固定 m 不变，研究 a 与 F 的关系；再固定 F 不变，研究 a 与 m 的关系
关键前提
其他变量必须真正「控住」，否则变化的同时混入了其他影响，结论不可信
刷题时间对考试成绩的影响对应 →控制变量法

想看清刷题时间的作用，得让睡眠、心情、当天学习内容等其他条件尽量保持一致

a∝F（m 一定）；a∝1m（F 一定）a \propto F \text{（}m\text{ 一定）}；\quad a \propto \dfrac{1}{m} \text{（}F\text{ 一定）}
6第 6 页 · 控制变量法

加速度与力的正比关系

前页用控制变量锁住了 m 不变。本页追问：当 m 固定时，a 与 F 之间到底服从什么数学关系——线性齐步走，还是另有门道？

正比关系
质量一定时，加速度与合外力严格成正比，写成 a ∝ F
图线过原点
以 F 为横轴、a 为纵轴作图，实验点应分布在过原点的直线附近
斜率即 1/m
直线斜率就是质量的倒数；质量越大，斜率越小
合外力前提
F 必须是合外力，实验中需先补偿摩擦力再挂钩砝
实验判据
点显著偏离直线或不过原点，往往意味着系统误差未消除
推同一辆购物车对应 →质量不变时的正比

推力翻几倍，起步加速度就翻几倍；车的质量始终是同一辆

a=Fm(m 取定值)a = \dfrac{F}{m}\quad(m\text{ 取定值})
7第 7 页 · 加速度与力的正比关系

加速度与质量的反比关系

上一页固定质量，发现力越大加速度越大。现在反过来——力不变，只改变质量，会发生什么？用同样推力推空购物车和装满货的购物车，起步快慢截然不同。

控制变量条件
保持合外力F恒定，只改变小车质量m
反比关系
a∝1/m，质量越大a越小，是严格反比而非线性减小
图线判据
作a-1/m图像若为过原点的直线，反比关系成立
同力推空车与满载车对应 →a与m的反比关系

推力相同时，空车加速大，满载车加速小

F不变时： a=Fm,a⋅m=F（定值）F\text{不变时：}\ a=\dfrac{F}{m},\quad a\cdot m=F\text{（定值）}
8第 8 页 · 加速度与质量的反比关系

质量

上一页我们得到 a 与 m 成反比。但「质量」到底是什么？为什么在 F=ma 里它出现在分母上？

惯性的量度
质量是物体惯性大小的量度，衡量改变运动状态的难易程度
物质的多少
物体所含物质的多少，是固有属性，不随位置、运动状态改变
实验中的操作
在小车上增减砝码来改变 m，但被加速的是小车+砝码整体
与重量的区别
质量是固有属性不变，重量 G=mg 随 g 变化（地点、海拔不同则不同）
装满货物的推车对应 →物体的质量

同样推力下货物越多越难加速——质量就是这种「难以改变运动状态」的属性

F=ma⇒a=FmF=ma \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac{F}{m}
9第 9 页 · 质量

本节要点

  • ✓控制变量法是实验骨架：固定一量变另一量，正反比关系才能分离
  • ✓描点连线若不过原点，先回头检查平衡摩擦与近似假设
  • ✓同时间起点下位移比即为加速度比，免去精确测时
  • ✓F 取绳端拉力而非砝码重力，须满足 M车≫m砝 才可代换
延伸主题：系统误差临界：M车/m砝 比值该取多大纸带数据处理：逐差法求加速度有摩擦情境下牛顿第二定律的验证
10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先自己琢磨，再看参考答案。三道题分别对应回顾、应用与迁移。

1为什么这个实验要分两次进行？不能一次同时改变力和质量吗？

参考答案加速度同时受力和质量影响，两个变量一起变就无法判断谁的功劳。分两次让每次只有一个变量在动。

2如果实验中忘了平衡摩擦力，a-F 图像会怎样变化？

参考答案图像不过原点，在 F 轴上有截距。因为未抵消摩擦力，需要先用一段力去克服它，小车才会加速。

3这套"控制变量+图像法"的实验思路，还可以用在哪些物理量的关系探究中？

参考答案比如电阻与电压电流的关系（控制电压看电流如何变），或弹簧伸长与拉力的关系。每次只让一个量变即可。

11第 11 页 · 课后思考
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