不等式

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✦ 不等式数学不等式
不等式性质不等式组数轴与坐标几何直观

不等式

搞懂不等式的代数逻辑与几何直观：性质、求解与图形

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不等式性质不等式组数轴与坐标几何直观

不等式

搞懂不等式的代数逻辑与几何直观：性质、求解与图形

1第 1 页 · 不等式

求差比较大小法

上页我们知道不等式刻画的是'大小关系'，具体怎么判断两个式子谁大？这就要靠求差比较法。3/5 − 4/7 = 1/35 > 0，前者就赢了。

核心思路
比较 A 与 B 的大小，转化为判断 A − B 的符号
判定规则
A−B > 0 则 A>B；=0 则相等；<0 则 A<B
关键技术
对 A−B 因式分解，把符号判断交给熟悉的因式
适用场景
分式、含字母代数式等直接比较无从下手时
天平上称两物对应 →A − B 的符号

A 比 B 重多少就是差为正多少；差为正 → A 重

A−B{>0⇒A>B=0⇒A=B<0⇒A<BA - B \begin{cases} > 0 \Rightarrow A > B \\ = 0 \Rightarrow A = B \\ < 0 \Rightarrow A < B \end{cases}
2第 2 页 · 求差比较大小法

不等式

上一节我们用「作差」判断谁大谁小，结论要落到统一的符号语言上——这就是不等式。学会它的性质，才能从「判断大小」走向「刻画范围」。

定义与符号
用 >、<、≥、≤、≠ 表示两式大小关系的式子
加减保序
两边同加或同减同一个数，不等号方向不变
乘除有条件
同乘除正数方向不变；同乘除负数方向翻转
传递性
a>b 且 b>c，则 a>c
典型应用
证明大小关系、求参数范围、解实际最值问题
数轴上点的位置对应 →不等式大小关系

a>b 即 a 在 b 右边；加常数整体平移不改变左右；乘负数则关于原点翻折，左右互换

a>b  ⟺  a−b>0a > b \iff a - b > 0
3第 3 页 · 不等式

不等式的解

上一页我们认识了不等式，知道它是「大小关系的数学表达」。一个不等式摆在那里，到底哪些数能让它成立？——这就是「解」要回答的问题。

不等式的解
能使不等式成立的未知数的取值
解集
所有解组成的集合，通常是一个取值范围
解不等式
由已知不等式求出其解集的过程
与方程解的区别
方程解常为有限个值，不等式解常为一段范围
考试 60 分及格对应 →不等式 x ≥ 60 的解集

所有得分 ≥60 的考生构成「及格集合」，对应所有 x ≥ 60

x+2>5⇒x>3,  {x∣x>3}x + 2 > 5 \Rightarrow x > 3,\; \{x \mid x > 3\}
4第 4 页 · 不等式的解

不等式的解集

上一页我们找到了使不等式成立的「解」，但一个不等式往往不止一个解——比如 x>3 就有无穷多个解。把所有满足条件的解打包成集合，就是这一页要讲的「解集」。

解集定义
使不等式成立的未知数所有取值组成的集合
集合记号
用 {x | 条件} 表示，例如 {x | x>3}
端点开闭
含等号用实心圆点，不含用空心圆点
数轴表示
用一段连续的区间或射线画出解集范围
电影院检票入场对应 →不等式解集

每位观众是一个 x，「身高≥1.2米」是条件，检票员圈出的合格观众就是解集

{x∣x>3}\{x \mid x > 3\}
5第 5 页 · 不等式的解集

不等式的性质1

上页我们用「求差」判断大小。但光会判断还不够——拿到两个不等式，我们经常要把它们「接起来」或者「换个方向说」。这一步靠的，就是不等式最基本的两个性质。

对称性
a > b 等价于 b < a，同一大小的两种写法，可以互换方向
传递性
a > b 且 b > c ⇒ a > c，大小关系可沿中间量一路接力下去
跑步比赛名次对应 →不等式的两个性质

A 赢 B、B 赢 C ⇒ A 赢 C；「A 赢 B」换个说法就是「B 输给 A」

a>b⇔b<aa>b, b>c⇒a>ca > b \Leftrightarrow b < a \\\\ a > b,\ b > c \Rightarrow a > c
6第 6 页 · 不等式的性质1

不等式的性质2

性质1告诉我们两边乘除正数，不等号方向不变。那乘以负数呢？看个例子：-2 < 3，两边同乘 -1，得 2 > -3——方向反了。

性质2核心
两边同乘或同除同一个负数，不等号方向必改变
方向反转的原因
负数相当于把数轴翻转，原来的左右顺序颠倒
解题易错点
系数化1时除以负数，必须先翻方向再算
尺子正面翻到背面对应 →乘负数后不等号反转

正面 1 在 5 左边；翻面后 1 跑到 5 右边，方向反了

若 a<b, c<0, 则 ac>bc 且 ac>bc\text{若 } a<b,\ c<0,\ \text{则 } ac>bc \text{ 且 } \dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}
7第 7 页 · 不等式的性质2

不等式的性质3

不等式的性质3：定义、要点与典型应用

不等式的性质3
不等式的性质3：定义、要点与典型应用
8第 8 页 · 不等式的性质3

本节要点

  • ✓大小比较先求差，结果符号即答案
  • ✓解是单个值，解集是满足条件的所有值
  • ✓性质核心：乘除负数，方向必反
延伸主题：一元一次不等式的解法不等式组绝对值不等式
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考，再对照参考答案；提示只是路径，不是终点。

1不等式有三个基本性质。你能用其中一条解释为什么「等式两边加同样数仍是等式」对不等式也成立吗？

参考答案性质1指出两边同加同数不等号方向不变。「两边加同数仍是等式」是恒等性在等式上的体现，把它搬到不等式上同样保持方向。

2已知a>b，c是任意实数，能推出a+c与b+c的大小关系吗？再让c换成具体的负数，又会得出什么？

参考答案由性质1两边加c得a+c>b+c。若c换成负数，再由性质3两边乘以负数不等号翻转，整条链条都能自洽。

3求差比较大小法的结论是否依赖a、b是实数？把它们换成向量或复数，方法还成立吗？

参考答案实数有全序性，a-b符号才有大小意义。复数不能比较大小；向量靠数量积可部分判断，但不等价。结论藏在全序结构里。

10第 10 页 · 课后思考