数学大学
立方体旋转
组合数学 · Polya定理
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立方体旋转
组合数学 · Polya定理
立方体旋转（1）
立方体的旋转对称群共有 24 个元素：每个位置都有 24 种转法对应。
计数论证
6 面任选一面朝上 × 4 种朝向 = 24
与全排列之别
24 远小于 6!，旋转受几何约束
立方体旋转（2）
旋转按转轴分四类：面轴、棱轴、体对角线轴，各带不同转角。
面轴
过对面中心：±90° 与 180°，共 3×3 个
棱轴与体轴
过对棱中点 180° 共 6 个；过对角顶点 ±120° 共 8 个
立方体旋转（3）
每一类旋转的不动结构不同：数染色方案时逐类数不动点。
不动面染色
面轴 90° 旋转要求上下两面同色等约束
逐类清点
Burnside 求和时每类贡献不同
立方体旋转（4）
经典应用：立方体六面用 n 色涂染，本质不同的方案数由此算出。
Burnside 汇总
24 个旋转的不动染色数取平均
结果意义
去掉旋转等价，方案数大幅缩水
本节要点
- ✓立方体旋转群 24 个元素
- ✓按面轴/棱轴/体轴分类清点
- ✓染色去重 = 24 个不动点数取平均
延伸主题：列出 24 个旋转逐一验证算一算双色立方体有几种
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1「6×4=24」的计数为什么成立？
参考答案任一旋转把某个指定面转到一个指定位置有 6 种选择，该面朝向后绕其法线还有 4 种朝向，且每种组合唯一确定一个旋转。乘法原理在群元素上的直接应用。
2为什么数「本质不同」的染色必须用 Burnside 而不能直接除以 24？
参考答案直接除以 24 只对「没有任何旋转固定它」的染色成立；对称性强的染色（六面同色）在 24 个旋转下都不动，被除以 24 会严重低估。Burnside 按不动点数加权平均，才是严格正确。
3为什么体对角线轴的旋转角是 120°？
参考答案绕体对角线看，立方体的三个相邻面轮转出现，转 120° 恰好把三个面各换一位、回到等价位置。三个对面同理再给反向 120°，于是体对角线轴共贡献 8 个旋转。