上一页我们掌握了柱、锥、台、球的体积公式,面对规则几何体没问题。但现实中机械零件、建筑构件往往形状怪异,既不是单一圆锥,也不是标准长方体——硬套公式就走不通了。

上页用分割法算了体积——那是'肚子里装了多少'。现在反过来：给长方体刷漆、包礼物，需要多少材料？关心的不是里面，而是外面那层皮。这就是表面积。

表面积只回答几何体“外皮有多大”，分割法解决“怎样算”。现在只关注内部空间：容器最多能装多少饮料，正是体积要回答的问题。

上页我们用分割法把复杂体拆成简单体来算体积。但棱柱的形状太规则——根本不用拆，直接套一个公式就行。而且这个公式对所有棱柱都成立，连斜着的那种也算。

上一节我们把一个三棱柱切成了三个三棱锥——这正是棱锥体积公式 V=1/3·Sh 的来源。今天就把它写清楚。

棱台的体积公式：定义、要点与典型应用

棱柱的体积是 V=Sh，底面积乘高。圆柱没有直边，但同样有底面和高——它能被看作有无数条边的'棱柱'，让同一个公式可以延续过去。

上一节圆柱 V=πr²h。如果把同底等高的圆锥装满水倒进圆柱，刚好倒 3 次才满——这个'3 次'不是巧合，正是公式里那个 1/3 的来历。

前页圆锥体积 V=⅓πr²h。若用一个平行于底面的平面横切圆锥，尖头被截走，剩下的部分就是圆台。它的体积自然是「大圆锥减小圆锥」，但结果比直觉更精致。

前面从棱柱到圆台，我们一直在用'底×高'或类柱体思路切几何体。球没有底也没有高，公式不能照搬——那 4πr² 是怎么得到的？

上页我们得到了球的表面积 S = 4πr²。这页往前推一步：球的体积是多少？直觉告诉你它和 r³ 成正比，但系数 4/3 来自何处？

前面求棱柱、棱锥、棱台都是用「分割+已知公式」拼出来的。但球没法这样切——祖暅给了一个更聪明的办法：不用算体积，只比截面。下一页就用它推球的体积。

• ✓柱V=Sh，锥V=⅓Sh，台体是大锥减小锥
• ✓球的公式不能靠简单分割，需用祖暅原理
• ✓棱与圆是类比关系：棱柱↔圆柱，棱锥↔圆锥
• ✓分割法的核心是把未知体积拆成已知几何体

先独立思考，再对照参考答案——看看自己走到了哪一步。