上页说 N 奇异导致无穷多解。那经典平差怎么解？思路很朴素：给自由网加最少的约束，刚好消除亏缺、让解唯一，同时不破坏平差的几何强度。

上一页我们看到自由网没有起算数据，参数似乎可以「任意」摆放。但「任意」到底意味着什么？经典最小二乘法还能直接套用吗？这一页，我们直面这个困难本身。

前页说自由网平差「求不出唯一解」——这不是计算器坏了，而是方程组的数学结构本身有缺口。我们来揭开这个缺口到底是什么。

从中心向外读：秩亏由基准缺失、必要观测不足、系数矩阵奇异三类原因或叠加造成。

上一节定性剖析了秩亏的成因——基准缺失。那『缺多少』要量化，这一节揭示秩亏数与必要观测数之间的换算关系。

上页算出了秩亏量 d。Nx=W 有无穷多组解，经典做法是选基准消秩亏。直接解法另辟蹊径：不固定任何参数，而是给参数解附加一个「加权范数最小」的约束。

秩亏自由网平差用直接解法，四步走完整套计算。

沿箭头方向读流程，动画亮起的节点是当前正在讲解的环节，未亮起为后续或旁路。

秩亏量是代数层面的结果，落到坐标参数上就是坐标亏数——观测本身定不下来的基准参数个数。这一页从'观测量是什么'出发，反推具体是哪几个参数定不下来。

经典平差也能算秩亏网，何必再发明直接解法？差在对秩亏的态度。

直接解法通过伪逆给出隐含基准的特解。但换个角度：能不能先指定基准，再把方程补齐？附加条件解法正是这条思路——主动给秩亏系统「打补丁」。

秩亏d对应d个亏缺方向，对每一类亏缺加一个基准条件将其固定。三类基准覆盖所有亏缺。

图从左到右读：先看三类基准并列，再逐项标出平移、旋转、尺度三类亏数被消除还是残留。

广义逆在平差中的应用

两条消除秩亏的路径——一条靠数学自动找最优解，一条靠人工事先定基准，适用场景截然不同。

前面用直接法或附加条件法解出了坐标，但这还不够——你还必须知道这组坐标的精度如何。普通平差里精度评定是顺水推舟，秩亏网里这一步有它的特殊性。

精度评定需要协因数阵 Q。经典平差里 Q=N⁻¹，求逆即可；秩亏情形下 N 奇异，这条路断了——必须换工具。

从左往右读：先由 Q 估方差，再合成协方差阵 D，最后派生出三类精度指标并汇成报告。

前面走通了精度评定的流程，最后具体到「一个点有多准」时，答案就落在点位中误差上——它把 x、y 两个方向的不确定性合成为一个标量。

上一页我们评了每个点'自己'的位置精度。但大坝监测、桥梁监测关心的不是单点在哪，而是'两点之间有没有相对位移'——这就要用到相对精度。

上一节我们说清了秩亏自由网平差的来龙去脉，概念得落到具体数字上才踏实。这一页我们备好一份水准网算例——就像做菜前先把食材和锅具摆好，后续几页就在这份数据上演练各种解法。

从观测表到精度表，中间要走完整套平差流程。

从平差计算出发，分三路派生成果：基本输出、精度指标、统计检验。

上一页算出了坐标改正数和中误差——但这些数字可信吗？考试做完题要回头检查，平差算完同样需要这一步验证。

在秩亏自由网平差中，伪逆法求得的解与附加条件法求得的解之间有什么关系？

• ✓秩亏即法方程奇异，本质是缺少外部基准
• ✓附加条件法与直接解法是同一问题的两种等价表述
• ✓自由网只能评内符合精度，不存在绝对坐标精度
• ✓最小范数原则是自由网解的唯一自然选取标准

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