数学大学
置换群
组合数学 · 群
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组合数学 · 群
共轭类
置换的共轭类由循环类型决定：同样的圈长分拆归同一类。
循环类型
写成不相交循环的长度分拆
类划分
分拆相同 ⇔ 共轭 ⇔ 同一类
对换
对换是只交换两个元素的置换：任何置换都能写成对换的乘积。
生成能力
全体对换生成整个对称群
奇偶性
对换个数奇偶不变，分出奇置换与偶置换
置换群的应用
置换群用于对称计数：Burnside 引理按不动点平均数出本质不同的方案。
Burnside 引理
本质不同方案数 = 各置换不动点数的平均
典型场景
项链染色、骰子标数等去重计数
本节要点
- ✓循环类型相同即共轭同类
- ✓对换生成对称群，定奇偶
- ✓Burnside：不动点平均定方案数
延伸主题：算 S₄ 的共轭类划分用 Burnside 数一次项链染色
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么「循环类型相同」就能推出两个置换共轭？
参考答案共轭变换 gσg⁻¹ 只是把 σ 的元素标签按 g 重新命名，循环的长度结构原样保留；反之循环类型相同的两个置换，可构造重命名把一个变成另一个。类型相同与共轭互为充要。
2奇偶性为什么是对换个数的「不变量」？
参考答案任一对换与任何其他对换乘积表示之间，对换个数的奇偶恒相同——恒等式的奇偶守恒。于是置换分成奇偶两大阵营，奇置换无法用偶数个对换凑出来，这正是十五数码无解的根源之一。
3共轭类的大小怎么计算？
参考答案类的元素个数等于群阶除以该元素中心化子（与它可交换的元素全体）的阶。循环类型定类、中心化子定大小，两个概念配合即可清点 Sₙ 的全部共轭类。