数学大学
Fibonacci数列的应用
组合数学 · 线性常系数递推关系
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数学大学
Fibonacci数列的应用
组合数学 · 线性常系数递推关系
桌布魔术
桌布魔术是一个斐波那契式的计数游戏：摆放方式的数目按斐波那契增长。
递推结构
末尾摆放两种方式，数目回到前两项之和
初始项
小尺寸情形直接数出，作为递推起点
Fibonacci的直接表达式
斐波那契数列有封闭表达式：含 √5 的两个幂函数之差。
比内公式
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5，φ=(1+√5)/2
来源
特征方程 r²=r+1 的两根 φ 与 ψ
Fibonacci优选法
斐波那契法做一维优选：用斐波那契数安排试验点，次数最省。
分数序列
1/2, 2/3, 3/5, 5/8… 逼近黄金分割
价值
限次试验下最大限度缩小搜索区间
艾略特波浪曲线
金融市场波浪理论中的斐波那契：上升五浪回调三浪与黄金比例。
浪型结构
驱动五浪加调整三浪的周期描述
理性看待
经验性观察工具，非严格数学定理
本节要点
- ✓斐波那契递推在计数游戏中频现
- ✓比内公式给出封闭表达式
- ✓优选法用斐波那契分数安排试验
- ✓波浪理论是经验应用，需理性看待
延伸主题：推导一次比内公式用斐波那契分数做一次试凑
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么这么多自然与计数现象都出现斐波那契数？
参考答案斐波那契递推是「新状态由前两个状态合成」的最简模型：摆放、繁殖、台阶走法都是这个结构。凡是二元合成的增长方式，都会落进这个数列。
2比内公式含无理数，为什么算出来全是整数？
参考答案φ 与 ψ = (1−√5)/2 是共轭根，两者幂次中的无理部分在相减时严格抵消，只剩下整数部分。无理数的「对称合作」产出整数序列，是特征方程方法的漂亮结果。
3特征方程方法与母函数方法解同一递推，结果必然一致吗？
参考答案一致。两者都是把递推关系化为代数问题求解，解的唯一性保证结果相同。特征方程短平快适合常系数线性齐次递推；母函数更通用，还能顺带处理非齐次与组合计数。