直方图

官方数学老师·11 页·进阶(有基础,想深入原理)·0 次浏览·3 天前
频数分布组距与密度描述统计

直方图

看穿组距选择如何改变图形、读懂频数与密度换算,掌握描述分布的核心方法

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频数分布组距与密度描述统计

直方图

看穿组距选择如何改变图形、读懂频数与密度换算,掌握描述分布的核心方法

1第 1 页 · 直方图

根据数据绘制频数分布直方

拿到一组考试成绩,直接看一长串数字很难发现规律。先把分数「分箱」,再数每箱几个,最后画成柱状——这就是频数分布直方图的绘制思路。

求极差
找出最大值与最小值,确定数据整体跨度
决定组数与组距
组数通常取5~15,组距=极差÷组数
统计各组频数
数清每组区间内落入多少个数据点
绘制直方图
横轴为分组区间,纵轴高度对应该组频数
快递按重量分拣到格子对应 →数据按组距分箱

决定格子大小=定组距,格子里的件数=频数

2第 2 页 · 根据数据绘制频数分布直方

直方图

直方图:定义、要点与典型应用

直方图
直方图:定义、要点与典型应用
3第 3 页 · 直方图

组距

上一张你画直方图时,把数据按 5 分一段切分——这'5 分'就是组距。同样的数据换一个组距,分布的形状可能完全不同。

组距的定义
每组的宽度,等于该组区间右端点减左端点的值
对形态的影响
组距越大直方图越平滑(细节被吞),越小越锯齿(噪声被放大)
与组数的关系
数据极差 ≈ 组距 × 组数,三者此消彼长、相互制约
典型应用
频数/频率分布表、连续型数据的分组汇总都依赖它
相机拉远拉近对应 →组距对分布形态的影响

拉远拍全貌但局部糊,拉近看清细节但只见一隅——组距变大变小,看到的'故事'完全不同

组数=数据极差组距\text{组数} = \dfrac{\text{数据极差}}{\text{组距}}
4第 4 页 · 组距

组数

上一页我们聊了组距——每个'格子'有多宽。组距定了,组数也就跟着定了。但反过来想:如果你先决定要用多少个格子,该怎么选?选多了、选少了又会怎样?

组数的定义
直方图中分组的个数,也就是横轴上柱子的根数
组数与组距的关系
组数×组距=极差,两者此消彼长
组数太多→噪声淹没
数据被切得过碎,柱子忽高忽低,看不出分布形状
组数太少→细节丢失
原本的峰、谷、双峰等特征可能被合并消失
经验法则
Sturges 公式 k=1+log₂n,n 为样本量,仅作参考
手机地图的缩放对应 →组数的多少

缩太小只见大洲轮廓,缩太大只盯一条街——都在牺牲另一层信息

k=1+log2nk = 1 + \log_2 n
5第 5 页 · 组数

频数

上页定了「5 分一档、8 档」的分组方案,分好之后第一件事就是把每个档里落了多少个数据数清楚。这就是频数。

定义
某个区间(组)内数据的出现次数,是个绝对计数
受组距影响
组距一变,频数跟着变;同一组数据分得越细,频数越分散
直方图的「高度」
画直方图时,每个矩形的高 = 该组的频数
与频率不同
频数是绝对个数;除以总数才得到频率(占比)
电影院各排的人数对应 →频数

一排对应一个区间,坐了多少人就对应频数

频率=频数数据总数频率 = \dfrac{频数}{数据总数}
6第 6 页 · 频数

频数分布表

频数分布表:定义、要点与典型应用

频数分布表
频数分布表:定义、要点与典型应用
7第 7 页 · 频数分布表

等距分组

上一页我们用 7 行频数分布表把 50 个成绩「装」进了 7 个区间。其实还有另一种「装法」——让每个区间宽度不一样。两种装法各有用处,这一页先说最常用的:等距分组。

等距分组的定义
每个组的组距(区间宽度)完全相同,例如 60–70、70–80、80–90
等距的好处
横轴每一格宽度一致,肉眼直接比较各组频数高低
什么时候用
数据分布较均匀、没有极端密集或稀疏段时效果最好
延伸:不等距
数据严重偏态时(如收入分布),用不等距才能看清稀疏段
书架隔板高度统一对应 →等距分组

每一层高度固定,肉眼直接数有几层、哪层更满;等距分组同理

8第 8 页 · 等距分组

频数与组距的比值

频数与组距的比值:背景、意义与延伸了解

频数与组距的比值
频数与组距的比值:背景、意义与延伸了解
9第 9 页 · 频数与组距的比值

本节要点

串联本节知识点,给出记忆锚点与易错提醒

本节要点
串联本节知识点,给出记忆锚点与易错提醒
10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先合上书自己想,再点开答案对照思路——好问题值得停一停。

1为什么频数分布直方图中,纵轴用"频率/组距"而不是直接用"频数"?换用频数会丢掉什么信息?

参考答案因为组距可能不同。频率/组距=概率密度,保证所有矩形面积之和等于1,直观反映"该区间出现的概率"。直接用频数,面积随组距变化,不同区间之间无法比较概率大小。

2如果一组数据极差很大,但样本量只有30个,你还能用等距分组画直方图吗?组距该怎么定?

参考答案可以,但要谨慎:组距过小→柱子稀、看不出趋势;组距过大→信息被磨平。一般取极差/8~极差/12,同时确保多数组内频数≥5,否则考虑合并或改用不等距分组。

3把一组考试成绩从直方图换成密度曲线时,曲线下总面积为什么必须等于1?这跟"频率/组距"有什么联系?

参考答案直方图所有矩形面积之和=频率总和=1。把柱子越画越细,矩形顶缘趋近光滑曲线,面积仍是1。这正是"频率/组距"作为密度的几何意义,也是从离散直方图走向连续概率分布的桥梁。

11第 11 页 · 课后思考