数学大学
无源场，保守场与调和场
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
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数学大学
无源场，保守场与调和场
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
平面保守场
保守场：沿任何闭路做功为零，等价于线积分与路径无关。
判据
单连通区域内 Q_x = P_y 即保守
路径无关
做功只由起点终点决定
势函数及其计算
势函数 u 满足 ∇u = F：逐变量积分再校准，与全微分求原函数同法。
求法
先对 x 积分 P，常数项由 Q 校准
做功公式
做功 = u(终点) − u(起点)
空间保守场
空间保守场判据：旋度为零（单连通区域内），存在势函数。
旋度判据
curl F = 0 且区域单连通
应用
重力场、静电场都是保守场
常见的场
场的分类词汇：有源场（散度非零）、无旋场（旋度为零）、调和场（两者皆无）。
有源/无源
散度是否恒为零
有旋/无旋
旋度是否恒为零
调和场
无源又无旋，如静电场区域
本节要点
- ✓保守场：闭路做功零、路径无关
- ✓势函数求出后做功变成端点差
- ✓调和场：无源又无旋
延伸主题：验证一个场是否保守求一个势函数并算做功
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1旋度为零就一定是保守场吗？区域条件为什么重要？
参考答案不一定。挖去奇点的区域（如绕原点的环域）上旋度为零但某些闭路积分不为零——洞的存在破坏了单连通性。势函数存在需要旋度为零加区域单连通两条同时满足。
2「势函数不唯一」会影响做功计算吗？
参考答案不会。两个势函数只差常数，做功用的是端点函数值之差，常数相减抵消。势函数的不唯一性与保守场的路径无关性互为表里。
3判别保守场后，为什么优先用势函数算做功而不是直接积分？
参考答案势函数法把沿曲线的积分压缩成端点求差：无须参数化路径、无须处理弧长微元。路径越复杂、越需要绕过奇异点时，势函数法的省力越明显。