简谐运动

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✦ 简谐运动物理简谐运动机械振动
振动相位能量守恒经典力学

简谐运动

从旋转投影到相位图，看清相位、能量与适用边界

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振动相位能量守恒经典力学

简谐运动

从旋转投影到相位图，看清相位、能量与适用边界

1第 1 页 · 简谐运动

什么是机械振动

秋千会自己荡回来，琴弦被拨一下会来回颤，活塞在气缸里往复跑……这些现象背后藏着同一个词：机械振动。上一页讲的简谐运动，只是它最规整的样子。

平衡位置
物体在不受外力时所停留的稳定位置，是整个振动的"中心"
往复运动
围绕平衡位置来回摆动，轨迹必然经过该中心点
恢复力
始终把物体拉回平衡位置的力（或力矩），振动得以维持的根源
不止简谐
简谐只是最规整的一种，现实中多为阻尼、受迫等更复杂形式
荡秋千对应 →机械振动

最低点对应平衡位置，重力沿运动方向的分量就是恢复力，一个来回对应一次振动周期

2第 2 页 · 什么是机械振动

平衡位置

上页我们看到，振动是物体在某个范围内反复来回。这个范围的几何中点不是随便选的——它对应着一种特殊状态：物体在该位置所受合力为零。我们叫它平衡位置。

合力为零的位置
振动范围内物体受力矢量和为零的几何中点，是振动的'几何中心'
不是停留点
物体经过此处瞬时加速度为零、速度最大，但不会停下来
位移的零点
x = 0 的位置，位移以此为原点向两侧计量
回复力的靶心
回复力 F = -kx 始终指向平衡位置，大小与偏离距离成正比
由系统决定
含重力等恒力时，平衡位置会偏移，如竖直弹簧下端平衡位置下降 mg/k
U 形槽里的小球对应 →平衡位置

槽底处重力与支持力抵消合力为零；小球每次滚过槽底都速度最大，但不停留

F=−kxF = -kx
3第 3 页 · 平衡位置

弹簧振子模型

上一页我们找到了平衡位置——合力为零的点。但要让物体真正来回摆动，光有平衡还不够，还得有一个能把它拉回来的「力」。弹簧振子就是提供这种回复力的最简装置。

轻弹簧
忽略质量，只保留弹性，提供回复力
质点小球
忽略形状与转动，只保留惯性质量 m
一端固定
固定端不动，小球只能沿轴线一维滑动
无阻尼环境
忽略空气阻力与摩擦，机械能守恒
建筑结构图纸对应 →弹簧振子模型

图纸剥离装饰与管道，保留承重骨架；模型剥离阻力与弹簧质量，保留回复力机制

F=−kxF=-kx
4第 4 页 · 弹簧振子模型

振动规律图解

从弹簧振子出发，沿箭头追踪一次完整振动循环，看位移、回复力、加速度、速度如何接力把振子拉回平衡位置。

图解渲染中…
a2：振子偏离平衡位置的距离，带正负号a3：方向始终指向平衡位置，大小与位移成正比a4：由回复力产生，方向与位移相反a1：回复力为零的参考位置，振子围绕它往复
5第 5 页 · 振动规律图解

位移-时间图像

上页用箭头看了振子来回跑，现在问：能不能精确记下"每一刻它在哪"？能——横轴时间，纵轴位移，每个时刻的位置画一个点连成曲线，就是位移-时间图像。

横轴 t，纵轴 x
横轴是时间 t，纵轴是偏离平衡位置的位移 x，正方向事先约定
理想曲线是余弦形
理想情况下图像是一条余弦（或正弦）曲线，平衡位置对应 x=0
斜率代表速度
图像切线斜率大小即瞬时速度；端点斜率为零，过平衡位置斜率最大
振幅和周期的读法
A 是曲线纵轴最大幅度；T 是相邻两同相位点在横轴的距离
心电图对应 →位移-时间图像

横轴都是时间、纵轴是某物理量大小——心电图记电信号，这里记位移

x(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)
6第 6 页 · 位移-时间图像

位移图像的绘制过程

从实物观察到纸上图像，一共八步。沿箭头从上往下读，左上角起步。

图解渲染中…
A3：每隔相同时间Δt记一次小球位置A5：以平衡位置为原点，规定向右为正方向
7第 7 页 · 位移图像的绘制过程

从图像读振动规律

按“定中线、量振幅、找同相点、读周期、算频率”的顺序，从位移—时间图像提取振动规律。

1
确定平衡中线
先画一条穿过平衡位置的水平中线
2
测量振幅
从中线到波峰的纵坐标差就是振幅 A
3
寻找同相点
找相邻同相位点，如波峰到波峰
4
读取周期
用横轴时间差量出一个完整周期 T
5
计算频率
由 f=1/T 得到每秒振动次数
8第 8 页 · 从图像读振动规律

振幅、周期与频率

上一页我们盯着图像看振子在平衡位置两侧来回晃——「晃多远」「晃多快」，凭感觉说不清楚。这一页给它配上三把刻度尺，把「看得见的抖动」变成「量得出来的数字」。

振幅 A
偏离平衡位置的最大位移，对应位移图像上波峰到平衡位置的高度
周期 T
完成一次完整振动所需的时间，任意相邻两次「到达同一位置且运动方向相同」的间隔
频率 f
单位时间内完成完整振动的次数，单位 Hz（每秒钟几个来回）
f 与 A 无关
弹簧振子的频率仅由劲度系数 k 与振子质量 m 决定，振幅变了 f 与 T 仍不变
老式座钟的钟摆对应 →振幅、周期、频率

摆锤偏离最低点最远 = 振幅；一次「左→右→左」= 一个周期；一秒内多少个来回 = 频率

f=1Tf = \dfrac{1}{T}
9第 9 页 · 振幅、周期与频率

用图像分析振动规律

同样是'位置-时间图'，一条斜线一条波浪线，物理意义天差地别。

匀速直线运动
  • 位移随时间均匀增大
  • 图像是一条倾斜直线
  • 速度大小方向都恒定
  • 描述单向行进过程
简谐振动
  • 位移在平衡位置附近往返
  • 图像是正弦或余弦曲线
  • 速度大小方向周期性变化
  • 描述来回往复过程
单调变化选直线图，周期往复用正弦曲线图——曲线本身就是'在重复'的信号。
10第 10 页 · 用图像分析振动规律

简谐运动的定义

看了弹簧振子的图像、能从图上读出振幅和周期,简谐运动的「长相」你已经熟悉。但要严格判断一个运动是不是简谐运动,必须追到本质:是什么力?满足什么关系?

平衡位置附近
物体在平衡位置两侧小范围内往返振动
回复力
始终把物体拉回平衡位置的力
F 与 x 大小成正比
回复力大小 F = k|x|,k 仅由系统本身决定
F 与 x 方向相反
力指向平衡位置,与位移反向,故写作 F = -kx
充要判据
满足 F = -kx 即可判定为简谐运动;超出线性区则不再成立
弹簧秤挂不同重物对应 →回复力正比于位移

挂越重弹簧伸越长,弹力也越大;SHM 把这个线性关系提升为振动判据

F=−kxF = -kx
11第 11 页 · 简谐运动的定义

简谐运动的判断方法

判断一个振动是否为简谐运动，需要从受力出发逐步验证。

1
受力分析
分析物体所受合力，判断是否存在始终指向平衡位置的回复力
2
建立F-x关系
把回复力写成位移x的函数，得到力的定量表达式
3
验证F=-kx
若回复力满足F=-kx形式且k为正常数，则为简谐运动
12第 12 页 · 简谐运动的判断方法

运动学特征

前面我们从 x-t 图像看到了位移的周期性。那速度呢？加速度呢？它们其实是同一种周期性变化的三个切面，理解三者的相位关系，就抓住了简谐运动的运动学本质。

位移
x = A cos(ωt+φ)，随时间按余弦规律变化，范围 [-A, A]
速度
v = -Aω sin(ωt+φ)，按正弦变化，相位比位移超前 π/2
加速度
a = -ω²x，与位移始终反向，大小与位移成正比
三量同步关系
位移最大时 v=0、|a|最大；过平衡位置时 |v|最大、a=0
匀速圆周运动的投影对应 →简谐运动三量相位

x 投影是位移 cos，y 投影是速度 sin，同一相位角驱动三者同步变化

x=Acos⁡(ωt+φ),v=−Aωsin⁡(ωt+φ),a=−ω2xx=A\cos(\omega t+\varphi),\quad v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),\quad a=-\omega^2 x
13第 13 页 · 运动学特征

三量变化同步图

沿一个周期看 x、v、a 三个量如何在不同时刻同步变化。

图解渲染中…
X：位移：偏离平衡位置的距离V：速度：运动方向与快慢A：加速度：回复力产生·总指向平衡位T：T 为周期，四分之一周期一跳
14第 14 页 · 三量变化同步图

动力学特征

上一节看到位移、速度、加速度同步变化——这只是「果」。是什么力让它如此规律？答案要从动力学里找：回复力。

回复力公式
F = -kx，回复力永远指向平衡位置，大小与位移成正比
牛顿第二定律搭桥
F = ma 把回复力接到加速度上，力向哪、加速度就向哪
加速度公式
a = -kx/m，加速度与位移大小成正比、方向始终相反
质量只改大小
m 只调节加速度的「快慢」，不动摇反向、同步的根本关系
拉长的橡皮筋对应 →回复力随位移变化

拉得越远回拉劲越大 → 回复力与位移成正比；永远拉回原位 → 始终指向平衡位置

F=−kxa=−kmxF = -kx \quad a = -\dfrac{k}{m}x
15第 15 页 · 动力学特征

标准表达式

上一页我们看到位移、速度、加速度都在有节奏地变化——能不能写成一个式子，把整个振动状态一网打尽？

标准表达式
x = A cos(ωt + φ)，一个式子描述整个振动
A 振幅
决定振动幅度——振子最远能跑多远
ω 角频率
决定振动快慢——与周期关系 ω = 2π/T
φ 初相位
决定从哪个位置、往哪个方向出发
相位 (ωt+φ)
随时间变化，标记振子处于一个周期中的哪一刻
手表的三根指针对应 →A、ω、φ 三个参数

A 像表盘半径定大小，ω 像秒针快慢定节奏，φ 像起始角度定从哪开始

x(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)
16第 16 页 · 标准表达式

各参数的作用

标准表达式里的 A、ω、φ 三个参数，各自掌管图像的一个维度，互不越界。

1
振幅 A
管图像纵向高度：波峰波谷到平衡位置的距离，能量也由它决定。
2
角频率 ω
管图像横向疏密：周期 T=2π/ω，ω 越大波形被横向压缩得越厉害。
3
初相位 φ
管波形水平平移：t=0 时质点的位移与速度方向由 φ 唯一确定。
17第 17 页 · 各参数的作用

相位与相位差

从 x = A cos(ωt + φ) 看，A 决定幅度、ω 决定快慢，这我们都讲清了。但括号里那个 (ωt + φ) 到底是什么？它能唯一确定振子此刻的位置和走向——这就是相位。

相位的含义
(ωt + φ) 唯一确定 x、v、a 在此刻的值
初相位 φ
t = 0 时的相位，由起始位移和初速度共同决定
相位差 Δφ
两振动在同一时刻的相位之差，衡量步调关系
恒定的条件
两振动频率相同时，Δφ 才不随时间变化
三种特殊关系
Δφ = 0 同相；Δφ = π 反相；Δφ = π/2 正交
圆形跑道上的两位跑者对应 →两个同频简谐振子

速度相同→弧度差恒定；速度不同→弧度差越拉越大（漂移）

Δφ(t)=(ω2−ω1)t+Δφ0\Delta\varphi(t) = (\omega_2-\omega_1)t + \Delta\varphi_0
18第 18 页 · 相位与相位差

相位差与振动对比

同频振动的步调关系只看相位差 Δφ，下面按 Δφ 由小到大分四种情况读图。

图解渲染中…
C1：两振动同频同相，任意时刻位移方向相同、大小相等C2：正交，x₂ 的峰值正好对齐 x₁ 的零点C3：反相，x₁=-x₂，若振幅相等则位移总相反D4：时差 Δt 与相位差 Δφ 通过 Δt=Δφ·T/(2π) 换算
19第 19 页 · 相位差与振动对比

能量表达式

上一页讲过回复力 F=-kx 让振子来回变速。力在做功,功就变成能量。这页问:弹簧振子的动能、势能能不能用 x、v 直接写出?总能量又守恒吗?

动能 Ek
Ek=½mv²,平衡位置处取极大值 ½kA²
弹性势能 Ep
Ep=½kx²,端点处取极大值 ½kA²
总机械能 E
E=Ek+Ep=½kA²,与时间无关,只取决于 k 与 A
能量转换
Ek 与 Ep 此消彼长,相位差 π/2
边界:阻尼
理想弹簧无阻尼;实际中机械能逐渐损耗,振幅衰减
秋千摆动对应 →弹簧振子能量

最高点速度为零(Ep 最大)、最低点速度最大(Ek 最大),机械能始终不变

Ek=12kA2sin⁡2(ωt+φ)Ep=12kA2cos⁡2(ωt+φ)E=12kA2E_k=\tfrac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)\\E_p=\tfrac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi)\\E=\tfrac{1}{2}kA^2
20第 20 页 · 能量表达式

能量转化图

沿环线追踪一个完整周期，看清每一处动能与势能的主次关系。

图解渲染中…
P1：形变最大：弹性势能最大，动能为零P2：弹簧恢复中：势能渐减，动能渐增P3：无形变：势能为零，速度最大动能最大P5：对侧端点，与P1同状态，一周期完成
21第 21 页 · 能量转化图

简谐运动 vs 一般振动

两者都涉及动能势能转化，但守恒情况完全不同

简谐运动
  • 动能与势能同步转化
  • 总机械能守恒
  • 势能始终是弹性势能
  • 振幅恒定不变
一般振动
  • 动能与势能存在耗散
  • 总机械能不守恒
  • 势能可能含其他形式
  • 振幅逐渐衰减
理想模型选简谐运动，真实系统多为阻尼振动
22第 22 页 · 简谐运动 vs 一般振动

单摆的简谐运动

弹簧振子给出 F = -kx，那悬挂的小球摆动时，受力也满足这个形式吗？让我们从力出发一步步推导。

回复力来源
重力沿切向的分量 mg sinθ 提供回复力，始终指向平衡位置
小角度近似
θ 很小（弧度制）时 sinθ ≈ θ ≈ x/L，三角函数线性化
等效弹簧振子
代入得 F ≈ -(mg/L)x，等价劲度系数 k = mg/L
单摆周期公式
T = 2π√(L/g)，周期只由摆长和重力加速度决定
近似边界
一般 θ < 5°，超过后 sinθ 与 θ 偏差明显，不再是严格简谐运动
曲线一小段近似直线对应 →小角度单摆近似简谐运动

摆球走弧线，角度够小时弧的回复力几乎与位移成正比，就像弹簧在直线上推拉

T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}
23第 23 页 · 单摆的简谐运动

弹簧振子 vs 单摆

都是简谐运动的典型，但一个靠弹性力天然线性，一个靠小角度近似才线性——这个差异决定两者的严格性。

弹簧振子
  • 回复力来源：弹簧的弹力
  • 力的规律：F = -kx，严格线性
  • 周期公式：T = 2π√(m/k)
  • 严格性：模型本身就是严格简谐
单摆
  • 回复力来源：重力的切向分量
  • 力的规律：F_t = -mg sinθ，需小角近似
  • 周期公式：T = 2π√(L/g)
  • 严格性：小角度下近似，大角度周期变长
弹簧振子是"天然"简谐（回复力本身线性），单摆是"近似"简谐（本质非线性，靠小角假设）。判断关键看回复力是否线性。
24第 24 页 · 弹簧振子 vs 单摆

简谐运动的应用

从计时到隔振，工程师利用或规避简谐运动来解决真实工程问题。

1
钟表计时
单摆等时性提供固定周期，擒纵机构补偿阻尼损耗
2
地震仪
质量相对地面近似静止，把地动放大为可读信号
3
石英振荡器
压电晶体以MHz做微幅振动，频率极稳成为电子计时核心
4
减震隔振
让固有频率远离激励频率，避开共振放大效应
25第 25 页 · 简谐运动的应用

自测题

点击作答

一个物体在水平面上做无摩擦的往复运动，从最远端出发再回到同侧最远端的耗时始终相同。下列说法正确的是？

26第 26 页 · 自测题

知识框架梳理

  • ✓本质是F=-kx的解：位移随时间按正弦函数变化
  • ✓频率由系统决定，振幅由初始能量决定
  • ✓位移、速度、加速度同频，相位依次差π/2
  • ✓判断简谐运动看回复力形式，不看轨迹
  • ✓弹簧振子与单摆都是小振幅下的理想模型
延伸主题：阻尼振动与受迫振动同方向简谐运动的合成机械波：简谐运动的传播
27第 27 页 · 知识框架梳理

深入思考

三个开放问题，先自己思考再看参考答案。

1为什么回复力必须正比于位移，而不是正比于速度？

参考答案只有 F=-kx 这种线性回复力才能产生正弦振荡。若换成 F=-kv，方程解是指数衰减，无周期可言。线性才是振荡的根源。

2弹簧劲度系数 k 变为原来的 4 倍，振幅不变，周期和总能量如何变化？

参考答案周期 T=2π√(m/k)，k 变 4 倍则 T 减半；总能量 E=½kA² 与 k 成正比，所以能量也变 4 倍。

3单摆角度越来越大时，为什么它就不再是严格的简谐运动了？

参考答案单摆回复力来自 -mg sinθ，只有 sinθ≈θ（小角度）时才能近似为线性回复力。角度一大，高次项不可忽略，频率会随振幅变，严格 SHM 失效。

28第 28 页 · 深入思考