上一页我们看到正多边形和圆有天然的亲缘关系——圆里能切出正多边形，正多边形能逼近圆。但「正多边形」这三个字具体是什么意思？让我们把它拆开看。

同样叫多边形，凭什么叫「正」？差别就在「边等不等、角等不等」——一个经典问题：等边三角形算不算？

上一页我们看到了正多边形的「完美对称」——所有边等长、所有角相等。这份对称的起点，其实是一个特殊的点：从它出发，到所有顶点都等距。今天就来找到它。

相邻顶点所夹圆心角与边到中心的距离

从中心出发，沿箭头看四个元素如何一步步联动。后一个元素都建立在前一个之上。

上一页我们看到四个量都指向同一个点。但凭什么这个中心一定存在？答案是——正多边形的所有顶点，本身就在同一个圆上。

前页讲到正多边形必有外接圆。现在反过来：给你一个圆，能否「倒推」出正多边形？答案是肯定的，而原理只有四个字——把圆等分。

前面学过，正多边形有一个穿过所有顶点的外接圆。现在反过来——正多边形内部还藏着一个圆，刚好和每条边都相切。这就是内切圆。

顶部是同圆心 O，向下分出外接圆与内切圆，最底部汇合于共同刻画正多边形的结论。

由边数n推出中心角大小的推导，一共四步。

上页由边数算出了中心角 360°/n。现在反过来：已知边长 a，能不能反推出外接圆半径 R？答案就在中心与两相邻顶点构成的三角形里。

上一节我们用直角三角形推出边长 a = 2R·sin(180°/n)。同一个直角三角形里，已有斜边 R 和角 180°/n，再添一条直角边就能求出第三个量——边心距 r。

把正多边形切成三角形，再用 SAS 公式求和，四步即可推得面积公式。

前面用正多边形逼近圆，边越多越接近。那圆自身的周长与直径之间，有没有一个不变的对应？

边数越多正多边形越接近外接圆。沿箭头看顶点与圆弧间隙的变化，虚线表示所有顶点始终落在同一个外接圆上。

阿基米德用正多边形从两侧夹住圆，一步步把π锁在越来越窄的区间里。

用 Python 让边数翻倍，观察周长收敛到 2π。

sin(π/n) 算出每条弦长；周长/(2r) 收敛到 π，验证上页逼近结论。

对任意n≥3的正n边形，其面积S与外接圆面积πR²、内切圆面积πr²的大小关系是？

• ✓对称性决定形状：n定了，正多边形就定了
• ✓三个距离公式串起边长、半径与边心距
• ✓面积公式本质：n个等腰三角拼整体
• ✓π是边数倍增时多边形逼近圆的极限
• ✓逼近思想搭起离散与连续的桥

先自己想，再翻参考答案——三个层次，逐步深入。