数学大学
信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
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信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
傅里叶谱——傅里叶谱定义
傅里叶谱是信号的频率成分清单：幅值谱与相位谱合起来完整刻画信号。
复谱
变换结果 X(f) 是复函数
幅值与相位
模为幅值谱，辐角为相位谱
傅里叶谱——傅里叶谱的可逆
谱到信号可逆：逆变换无损还原，频域操作可以等价到时域。
可逆性
逆变换完全复原原信号
等价操作
滤波在频域做，效果等同时域卷积
傅里叶谱——可逆变换的快速
FFT 是 DFT 的快速算法：利用对称与周期性，算力从平方降到对数线性。
复杂度
从 O(N²) 降到 O(N log N)
原理
按奇偶分组递归，复用旋转因子对称性
意义
让频分析在计算机上实时可行
周期傅里叶变换——周期傅里
周期信号对应傅里叶级数：频谱是离散的谐波谱线。
级数展开
周期信号 = 直流 + 各次谐波
离散谱
谱线只出现在基频整数倍处
周期傅里叶变换——周期傅里
谐波系数的求法与谱的物理含义：每个系数就是对应频率成分的强弱。
系数计算
信号与谐波做内积，投影即系数
物理含义
系数大小即该频率成分的幅值贡献
本节要点
- ✓傅里叶谱 = 幅值谱 + 相位谱
- ✓可逆：频域操作可等价回时域
- ✓FFT 让频分析实时可行
- ✓周期信号用级数，谱线离散
延伸主题：实现一次 FFT 并对比耗时对周期信号做级数分解
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1FFT 为什么能比直接计算快这么多？
参考答案DFT 中大量旋转因子乘法因对称性与周期性重复出现；FFT 按奇偶分组递归，复用这些重复计算，复杂度从 O(N²) 降到 O(N log N)。
2周期信号的级数展开与非周期信号的变换，本质有什么联系？
参考答案级数展开把能量分给离散谐波，变换把能量分给连续频率。让周期趋于无穷，谱线无限密集，级数就过渡为变换——两者是同一思想在不同周期假设下的形态。
3为什么滤波可以在频域进行？
参考答案时域卷积对应频域相乘：把不需要的频率成分在频谱上乘零抑制，再做逆变换回时域，效果等同于时域滤波，且「挑频率」的思路直观得多。